MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramtcl2OLD Structured version   Unicode version

Theorem ramtcl2OLD 14966
Description: The Ramsey number is an integer iff there is a number with the Ramsey number property. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) Obsolete version of ramtcl2 14965 as of 14-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
ramval.t  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
ramtcl2OLD  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  T  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    f, c, x, C    n, c, s, F, f, x    a,
b, c, f, i, n, s, x, M    R, c, f, n, s, x    V, c, f, n, s, x
Allowed substitution hints:    C( i, n, s, a, b)    R( i, a, b)    T( x, f, i, n, s, a, b, c)    F( i, a, b)    V( i, a, b)

Proof of Theorem ramtcl2OLD
StepHypRef Expression
1 ramval.c . . . . 5  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
2 ramval.t . . . . 5  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
31, 2ramcl2lemOLD 14962 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  =  if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
43eleq1d 2491 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  NN0 )
)
5 pnfnre 9689 . . . . . 6  |- +oo  e/  RR
65neli 2756 . . . . 5  |-  -. +oo  e.  RR
7 iftrue 3917 . . . . . . 7  |-  ( T  =  (/)  ->  if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  = +oo )
87eleq1d 2491 . . . . . 6  |-  ( T  =  (/)  ->  ( if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e. 
NN0 
<-> +oo  e.  NN0 )
)
9 nn0re 10885 . . . . . 6  |-  ( +oo  e.  NN0  -> +oo  e.  RR )
108, 9syl6bi 231 . . . . 5  |-  ( T  =  (/)  ->  ( if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e. 
NN0  -> +oo  e.  RR ) )
116, 10mtoi 181 . . . 4  |-  ( T  =  (/)  ->  -.  if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  NN0 )
1211necon2ai 2655 . . 3  |-  ( if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e. 
NN0  ->  T  =/=  (/) )
134, 12syl6bi 231 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  ->  T  =/=  (/) ) )
141, 2ramtclOLD 14964 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  T  <->  T  =/=  (/) ) )
15 ssrab2 3546 . . . . 5  |-  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } 
C_  NN0
162, 15eqsstri 3494 . . . 4  |-  T  C_  NN0
1716sseli 3460 . . 3  |-  ( ( M Ramsey  F )  e.  T  ->  ( M Ramsey  F )  e.  NN0 )
1814, 17syl6bir 232 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( T  =/=  (/)  ->  ( M Ramsey  F )  e.  NN0 ) )
1913, 18impbid 193 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  T  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982   A.wal 1435    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   A.wral 2771   E.wrex 2772   {crab 2775   _Vcvv 3080    C_ wss 3436   (/)c0 3761   ifcif 3911   ~Pcpw 3981   {csn 3998   class class class wbr 4423   `'ccnv 4852   "cima 4856   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307    ^m cmap 7483   supcsup 7963   RRcr 9545   +oocpnf 9679    < clt 9682    <_ cle 9683   NN0cn0 10876   #chash 12521   Ramsey cramold 14949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-sup 7965  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-ramOLD 14952
This theorem is referenced by:  ramcl2OLD  14973
  Copyright terms: Public domain W3C validator