MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramtcl2 Structured version   Unicode version

Theorem ramtcl2 14160
Description: The Ramsey number is an integer iff there is a number with the Ramsey number property. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
ramval.t  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
ramtcl2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  T  =/=  (/) ) )
Distinct variable groups:    f, c, x, C    n, c, s, F, f, x    a,
b, c, f, i, n, s, x, M    R, c, f, n, s, x    V, c, f, n, s, x
Allowed substitution hints:    C( i, n, s, a, b)    R( i, a, b)    T( x, f, i, n, s, a, b, c)    F( i, a, b)    V( i, a, b)

Proof of Theorem ramtcl2
StepHypRef Expression
1 ramval.c . . . . 5  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
2 ramval.t . . . . 5  |-  T  =  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }
31, 2ramcl2lem 14158 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( M Ramsey  F )  =  if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) ) )
43eleq1d 2518 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  NN0 )
)
5 pnfnre 9512 . . . . . 6  |- +oo  e/  RR
65neli 2780 . . . . 5  |-  -. +oo  e.  RR
7 iftrue 3881 . . . . . . 7  |-  ( T  =  (/)  ->  if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  = +oo )
87eleq1d 2518 . . . . . 6  |-  ( T  =  (/)  ->  ( if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e. 
NN0 
<-> +oo  e.  NN0 )
)
9 nn0re 10675 . . . . . 6  |-  ( +oo  e.  NN0  -> +oo  e.  RR )
108, 9syl6bi 228 . . . . 5  |-  ( T  =  (/)  ->  ( if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e. 
NN0  -> +oo  e.  RR ) )
116, 10mtoi 178 . . . 4  |-  ( T  =  (/)  ->  -.  if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e.  NN0 )
1211necon2ai 2680 . . 3  |-  ( if ( T  =  (/) , +oo ,  sup ( T ,  RR ,  `'  <  ) )  e. 
NN0  ->  T  =/=  (/) )
134, 12syl6bi 228 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  ->  T  =/=  (/) ) )
141, 2ramtcl 14159 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  T  <->  T  =/=  (/) ) )
15 ssrab2 3521 . . . . 5  |-  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } 
C_  NN0
162, 15eqsstri 3470 . . . 4  |-  T  C_  NN0
1716sseli 3436 . . 3  |-  ( ( M Ramsey  F )  e.  T  ->  ( M Ramsey  F )  e.  NN0 )
1814, 17syl6bir 229 . 2  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( T  =/=  (/)  ->  ( M Ramsey  F )  e.  NN0 ) )
1913, 18impbid 191 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  T  =/=  (/) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965   A.wal 1368    = wceq 1370    e. wcel 1757    =/= wne 2641   A.wral 2792   E.wrex 2793   {crab 2796   _Vcvv 3054    C_ wss 3412   (/)c0 3721   ifcif 3875   ~Pcpw 3944   {csn 3961   class class class wbr 4376   `'ccnv 4923   "cima 4927   -->wf 5498   ` cfv 5502  (class class class)co 6176    |-> cmpt2 6178    ^m cmap 7300   supcsup 7777   RRcr 9368   +oocpnf 9502    < clt 9505    <_ cle 9506   NN0cn0 10666   #chash 12190   Ramsey cram 14148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-er 7187  df-map 7302  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-sup 7778  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-nn 10410  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-ram 14150
This theorem is referenced by:  rami  14164  ramcl2  14165  ramsey  14179
  Copyright terms: Public domain W3C validator