Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rami Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rami 15051
 Description: The defining property of a Ramsey number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rami.c
rami.m
rami.r
rami.f
rami.x Ramsey
rami.s
rami.l Ramsey
rami.g
Assertion
Ref Expression
rami
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,)   (,,,,)

Proof of Theorem rami
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rami.g . . 3
2 rami.r . . . 4
3 ovex 6336 . . . 4
4 elmapg 7503 . . . 4
52, 3, 4sylancl 675 . . 3
61, 5mpbird 240 . 2
7 rami.s . . 3
8 rami.x . . . . 5 Ramsey
9 rami.m . . . . . 6
10 rami.f . . . . . 6
11 rami.c . . . . . . . 8
12 eqid 2471 . . . . . . . 8
1311, 12ramtcl2 15045 . . . . . . 7 Ramsey
1411, 12ramtcl 15043 . . . . . . 7 Ramsey
1513, 14bitr4d 264 . . . . . 6 Ramsey Ramsey
169, 2, 10, 15syl3anc 1292 . . . . 5 Ramsey Ramsey
178, 16mpbid 215 . . . 4 Ramsey
18 breq1 4398 . . . . . . . 8 Ramsey Ramsey
1918imbi1d 324 . . . . . . 7 Ramsey Ramsey
2019albidv 1775 . . . . . 6 Ramsey Ramsey
2120elrab 3184 . . . . 5 Ramsey Ramsey Ramsey
2221simprbi 471 . . . 4 Ramsey Ramsey
2317, 22syl 17 . . 3 Ramsey
24 rami.l . . 3 Ramsey
25 fveq2 5879 . . . . . 6
2625breq2d 4407 . . . . 5 Ramsey Ramsey
27 oveq1 6315 . . . . . . 7
2827oveq2d 6324 . . . . . 6
29 pweq 3945 . . . . . . . 8
3029rexeqdv 2980 . . . . . . 7
3130rexbidv 2892 . . . . . 6
3228, 31raleqbidv 2987 . . . . 5
3326, 32imbi12d 327 . . . 4 Ramsey Ramsey
3433spcgv 3120 . . 3 Ramsey Ramsey
357, 23, 24, 34syl3c 62 . 2
36 cnveq 5013 . . . . . . 7
3736imaeq1d 5173 . . . . . 6
3837sseq2d 3446 . . . . 5
3938anbi2d 718 . . . 4
40392rexbidv 2897 . . 3
4140rspcv 3132 . 2
426, 35, 41sylc 61 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007  wal 1450   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  csn 3959   class class class wbr 4395  ccnv 4838  cima 4842  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310   cmap 7490   cle 9694  cn0 10893  chash 12553   Ramsey cram 15028 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-inf 7975  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-ram 15031 This theorem is referenced by:  ramlb  15056  ramub1lem2  15064
 Copyright terms: Public domain W3C validator