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Theorem rami 14385
Description: The defining property of a Ramsey number. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
rami.c  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
rami.m  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
rami.r  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
rami.f  |-  ( ph  ->  F : R --> NN0 )
rami.x  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  e.  NN0 )
rami.s  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
rami.l  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  <_  ( # `  S
) )
rami.g  |-  ( ph  ->  G : ( S C M ) --> R )
Assertion
Ref Expression
rami  |-  ( ph  ->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) )
Distinct variable groups:    x, c, C    G, c, x    ph, c, x    S, c, x    F, c, x    a, b, c, i, x, M    R, c, x    V, c, x
Allowed substitution hints:    ph( i, a, b)    C( i, a, b)    R( i, a, b)    S( i, a, b)    F( i, a, b)    G( i, a, b)    V( i, a, b)    W( x, i, a, b, c)

Proof of Theorem rami
Dummy variables  f  n  s are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rami.g . . 3  |-  ( ph  ->  G : ( S C M ) --> R )
2 rami.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  V )
3 ovex 6307 . . . 4  |-  ( S C M )  e. 
_V
4 elmapg 7430 . . . 4  |-  ( ( R  e.  V  /\  ( S C M )  e.  _V )  -> 
( G  e.  ( R  ^m  ( S C M ) )  <-> 
G : ( S C M ) --> R ) )
52, 3, 4sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( R  ^m  ( S C M ) )  <-> 
G : ( S C M ) --> R ) )
61, 5mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  G  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) )
7 rami.s . . 3  |-  ( ph  ->  S  e.  W )
8 rami.x . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  e.  NN0 )
9 rami.m . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  NN0 )
10 rami.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : R --> NN0 )
11 rami.c . . . . . . . 8  |-  C  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
12 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) }  =  { n  e. 
NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) }
1311, 12ramtcl2 14381 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) }  =/=  (/) ) )
1411, 12ramtcl 14380 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) }  <->  { n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  =/=  (/) ) )
1513, 14bitr4d 256 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  R  e.  V  /\  F : R --> NN0 )  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  ( M Ramsey  F )  e.  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } ) )
169, 2, 10, 15syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( M Ramsey  F
)  e.  NN0  <->  ( M Ramsey  F )  e.  { n  e.  NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } ) )
178, 16mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  e.  { n  e. 
NN0  |  A. s
( n  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) } )
18 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( M Ramsey  F
)  ->  ( n  <_  ( # `  s
)  <->  ( M Ramsey  F
)  <_  ( # `  s
) ) )
1918imbi1d 317 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( M Ramsey  F
)  ->  ( (
n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )  <->  ( ( M Ramsey  F )  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) ) )
2019albidv 1689 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( M Ramsey  F
)  ->  ( A. s ( n  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )  <->  A. s ( ( M Ramsey  F )  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) ) )
2120elrab 3261 . . . . 5  |-  ( ( M Ramsey  F )  e. 
{ n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  <->  ( ( M Ramsey  F )  e.  NN0  /\ 
A. s ( ( M Ramsey  F )  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) ) )
2221simprbi 464 . . . 4  |-  ( ( M Ramsey  F )  e. 
{ n  e.  NN0  | 
A. s ( n  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) }  ->  A. s
( ( M Ramsey  F
)  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
2317, 22syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  A. s ( ( M Ramsey  F )  <_ 
( # `  s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
24 rami.l . . 3  |-  ( ph  ->  ( M Ramsey  F )  <_  ( # `  S
) )
25 fveq2 5864 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( # `
 s )  =  ( # `  S
) )
2625breq2d 4459 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  (
( M Ramsey  F )  <_  ( # `  s
)  <->  ( M Ramsey  F
)  <_  ( # `  S
) ) )
27 oveq1 6289 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  (
s C M )  =  ( S C M ) )
2827oveq2d 6298 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( R  ^m  ( s C M ) )  =  ( R  ^m  ( S C M ) ) )
29 pweq 4013 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  S  ->  ~P s  =  ~P S
)
3029rexeqdv 3065 . . . . . . 7  |-  ( s  =  S  ->  ( E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) )  <->  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
3130rexbidv 2973 . . . . . 6  |-  ( s  =  S  ->  ( E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) )  <->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
3228, 31raleqbidv 3072 . . . . 5  |-  ( s  =  S  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) )  <->  A. f  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
3326, 32imbi12d 320 . . . 4  |-  ( s  =  S  ->  (
( ( M Ramsey  F
)  <_  ( # `  s
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  (
s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e. 
~P  s ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )  <->  ( ( M Ramsey  F )  <_  ( # `
 S )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) ) ) )
3433spcgv 3198 . . 3  |-  ( S  e.  W  ->  ( A. s ( ( M Ramsey  F )  <_  ( # `
 s )  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( s C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  s
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) ) )  -> 
( ( M Ramsey  F
)  <_  ( # `  S
)  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) ) )
357, 23, 24, 34syl3c 61 . 2  |-  ( ph  ->  A. f  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
36 cnveq 5174 . . . . . . 7  |-  ( f  =  G  ->  `' f  =  `' G
)
3736imaeq1d 5334 . . . . . 6  |-  ( f  =  G  ->  ( `' f " {
c } )  =  ( `' G " { c } ) )
3837sseq2d 3532 . . . . 5  |-  ( f  =  G  ->  (
( x C M )  C_  ( `' f " { c } )  <->  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) )
3938anbi2d 703 . . . 4  |-  ( f  =  G  ->  (
( ( F `  c )  <_  ( # `
 x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " { c } ) )  <->  ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) ) )
40392rexbidv 2980 . . 3  |-  ( f  =  G  ->  ( E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) )  <->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) ) )
4140rspcv 3210 . 2  |-  ( G  e.  ( R  ^m  ( S C M ) )  ->  ( A. f  e.  ( R  ^m  ( S C M ) ) E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x C M )  C_  ( `' f " {
c } ) )  ->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) ) )
426, 35, 41sylc 60 1  |-  ( ph  ->  E. c  e.  R  E. x  e.  ~P  S ( ( F `
 c )  <_ 
( # `  x )  /\  ( x C M )  C_  ( `' G " { c } ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   "cima 5002   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    |-> cmpt2 6284    ^m cmap 7417    <_ cle 9625   NN0cn0 10791   #chash 12367   Ramsey cram 14369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-ram 14371
This theorem is referenced by:  ramlb  14389  ramub1lem2  14397
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