Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramcl2lemOLD Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ramcl2lemOLD 15042
 Description: Lemma for extended real closure of the Ramsey number function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) Obsolete version of ramcl2lem 15041 as of 14-Sep-2020. (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c
ramval.t
Assertion
Ref Expression
ramcl2lemOLD Ramsey
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,)   (,,,,,,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem ramcl2lemOLD
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2482 . 2 Ramsey Ramsey
2 eqeq2 2482 . 2 Ramsey Ramsey
3 ramval.c . . . 4
4 ramval.t . . . 4
53, 4ramvalOLD 15040 . . 3 Ramsey
6 supeq1 7977 . . . 4
7 xrinfm0OLD 11652 . . . 4
86, 7syl6eq 2521 . . 3
95, 8sylan9eq 2525 . 2 Ramsey
10 df-ne 2643 . . 3
115adantr 472 . . . 4 Ramsey
12 xrltso 11463 . . . . . . 7
13 cnvso 5382 . . . . . . 7
1412, 13mpbi 213 . . . . . 6
1514a1i 11 . . . . 5
16 ssrab2 3500 . . . . . . . . 9
174, 16eqsstri 3448 . . . . . . . 8
18 nn0ssre 10897 . . . . . . . 8
1917, 18sstri 3427 . . . . . . 7
20 nn0uz 11217 . . . . . . . . . 10
2117, 20sseqtri 3450 . . . . . . . . 9
2221a1i 11 . . . . . . . 8
23 infmssuzclOLD 11270 . . . . . . . 8
2422, 23sylan 479 . . . . . . 7
2519, 24sseldi 3416 . . . . . 6
2625rexrd 9708 . . . . 5
27 simpr 468 . . . . . . . 8
28 infmssuzleOLD 11269 . . . . . . . 8
2921, 27, 28sylancr 676 . . . . . . 7
3025adantr 472 . . . . . . . 8
3119a1i 11 . . . . . . . . 9
3231sselda 3418 . . . . . . . 8
3330, 32lenltd 9798 . . . . . . 7
3429, 33mpbid 215 . . . . . 6
35 gtso 9733 . . . . . . . 8
3635supex 7995 . . . . . . 7
37 vex 3034 . . . . . . 7
3836, 37brcnv 5022 . . . . . 6
3934, 38sylnibr 312 . . . . 5
4015, 26, 24, 39supmax 7999 . . . 4
4111, 40eqtrd 2505 . . 3 Ramsey
4210, 41sylan2br 484 . 2 Ramsey
431, 2, 9, 42ifbothda 3907 1 Ramsey
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   w3a 1007  wal 1450   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   wss 3390  c0 3722  cif 3872  cpw 3942  csn 3959   class class class wbr 4395   wor 4759  ccnv 4838  cima 4842  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310   cmap 7490  csup 7972  cr 9556  cc0 9557   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cn0 10893  cuz 11182  chash 12553   Ramsey cramold 15029 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-ramOLD 15032 This theorem is referenced by:  ramtclOLD  15044  ramtcl2OLD  15046  ramtubOLD  15048  ramcl2OLD  15053
 Copyright terms: Public domain W3C validator