Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramcl2lem Structured version   Unicode version

Theorem ramcl2lem 14914
 Description: Lemma for extended real closure of the Ramsey number function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Revised by AV, 14-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c
ramval.t
Assertion
Ref Expression
ramcl2lem Ramsey inf
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,)   (,,,,,,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem ramcl2lem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2435 . 2 inf Ramsey Ramsey inf
2 eqeq2 2435 . 2 inf inf Ramsey inf Ramsey inf
3 ramval.c . . . 4
4 ramval.t . . . 4
53, 4ramval 14912 . . 3 Ramsey inf
6 infeq1 7989 . . . 4 inf inf
7 xrinf0 11612 . . . 4 inf
86, 7syl6eq 2477 . . 3 inf
95, 8sylan9eq 2481 . 2 Ramsey
10 df-ne 2618 . . 3
115adantr 466 . . . 4 Ramsey inf
12 xrltso 11429 . . . . . 6
1312a1i 11 . . . . 5
14 ssrab2 3543 . . . . . . . . 9
154, 14eqsstri 3491 . . . . . . . 8
16 nn0ssre 10862 . . . . . . . 8
1715, 16sstri 3470 . . . . . . 7
18 nn0uz 11182 . . . . . . . . . 10
1915, 18sseqtri 3493 . . . . . . . . 9
2019a1i 11 . . . . . . . 8
21 infssuzcl 11234 . . . . . . . 8 inf
2220, 21sylan 473 . . . . . . 7 inf
2317, 22sseldi 3459 . . . . . 6 inf
2423rexrd 9679 . . . . 5 inf
25 simpr 462 . . . . . . 7
26 infssuzle 11233 . . . . . . 7 inf
2719, 25, 26sylancr 667 . . . . . 6 inf
2823adantr 466 . . . . . . 7 inf
2917a1i 11 . . . . . . . 8
3029sselda 3461 . . . . . . 7
3128, 30lenltd 9770 . . . . . 6 inf inf
3227, 31mpbid 213 . . . . 5 inf
3313, 24, 22, 32infmin 8007 . . . 4 inf inf
3411, 33eqtrd 2461 . . 3 Ramsey inf
3510, 34sylan2br 478 . 2 Ramsey inf
361, 2, 9, 35ifbothda 3941 1 Ramsey inf
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 370   w3a 982  wal 1435   wceq 1437   wcel 1867   wne 2616  wral 2773  wrex 2774  crab 2777  cvv 3078   wss 3433  c0 3758  cif 3906  cpw 3976  csn 3993   class class class wbr 4417   wor 4765  ccnv 4844  cima 4848  wf 5588  cfv 5592  (class class class)co 6296   cmpt2 6298   cmap 7471  infcinf 7952  cr 9527  cc0 9528   cpnf 9661  cxr 9663   clt 9664   cle 9665  cn0 10858  cuz 11148  chash 12501   Ramsey cram 14901 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-ram 14904 This theorem is referenced by:  ramtcl  14916  ramtcl2  14918  ramtub  14920  ramcl2  14925
 Copyright terms: Public domain W3C validator