Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ramcl2lem Structured version   Unicode version

Theorem ramcl2lem 14386
 Description: Lemma for extended real closure of the Ramsey number function. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ramval.c
ramval.t
Assertion
Ref Expression
ramcl2lem Ramsey
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,,   ,,,,,,,,   ,,,,,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,)   (,,,,,,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem ramcl2lem
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqeq2 2482 . 2 Ramsey Ramsey
2 eqeq2 2482 . 2 Ramsey Ramsey
3 ramval.c . . . 4
4 ramval.t . . . 4
53, 4ramval 14385 . . 3 Ramsey
6 supeq1 7905 . . . 4
7 xrinfm0 11528 . . . 4
86, 7syl6eq 2524 . . 3
95, 8sylan9eq 2528 . 2 Ramsey
10 df-ne 2664 . . 3
115adantr 465 . . . 4 Ramsey
12 xrltso 11347 . . . . . . 7
13 cnvso 5546 . . . . . . 7
1412, 13mpbi 208 . . . . . 6
1514a1i 11 . . . . 5
16 ssrab2 3585 . . . . . . . . 9
174, 16eqsstri 3534 . . . . . . . 8
18 nn0ssre 10799 . . . . . . . 8
1917, 18sstri 3513 . . . . . . 7
20 nn0uz 11116 . . . . . . . . . 10
2117, 20sseqtri 3536 . . . . . . . . 9
2221a1i 11 . . . . . . . 8
23 infmssuzcl 11165 . . . . . . . 8
2422, 23sylan 471 . . . . . . 7
2519, 24sseldi 3502 . . . . . 6
2625rexrd 9643 . . . . 5
27 simpr 461 . . . . . . . 8
28 infmssuzle 11164 . . . . . . . 8
2921, 27, 28sylancr 663 . . . . . . 7
3025adantr 465 . . . . . . . 8
3119a1i 11 . . . . . . . . 9
3231sselda 3504 . . . . . . . 8
3330, 32lenltd 9730 . . . . . . 7
3429, 33mpbid 210 . . . . . 6
35 gtso 9666 . . . . . . . 8
3635supex 7923 . . . . . . 7
37 vex 3116 . . . . . . 7
3836, 37brcnv 5185 . . . . . 6
3934, 38sylnibr 305 . . . . 5
4015, 26, 24, 39supmax 7925 . . . 4
4111, 40eqtrd 2508 . . 3 Ramsey
4210, 41sylan2br 476 . 2 Ramsey
431, 2, 9, 42ifbothda 3974 1 Ramsey
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 369   w3a 973  wal 1377   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  wrex 2815  crab 2818  cvv 3113   wss 3476  c0 3785  cif 3939  cpw 4010  csn 4027   class class class wbr 4447   wor 4799  ccnv 4998  cima 5002  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6284   cmpt2 6286   cmap 7420  csup 7900  cr 9491  cc0 9492   cpnf 9625  cxr 9627   clt 9628   cle 9629  cn0 10795  cuz 11082  chash 12373   Ramsey cram 14376 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-ram 14378 This theorem is referenced by:  ramtcl  14387  ramtcl2  14388  ramtub  14389  ramcl2  14393
 Copyright terms: Public domain W3C validator