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Theorem ram0 14079
Description: The Ramsey number when  R  =  (/). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ram0  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M Ramsey  (/) )  =  M )

Proof of Theorem ram0
Dummy variables  b 
f  c  s  x  a  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . 3  |-  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
2 id 22 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e. 
NN0 )
3 0ex 4419 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
43a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  (/)  e.  _V )
5 f0 5589 . . . 4  |-  (/) : (/) --> NN0
65a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  (/) : (/) --> NN0 )
7 f00 5590 . . . . 5  |-  ( f : ( s ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) --> (/)  <->  (
f  =  (/)  /\  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  =  (/) ) )
8 vex 2973 . . . . . . . . . 10  |-  s  e. 
_V
9 simpl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  M  e.  NN0 )
101hashbcval 14059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  _V  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  =  { x  e.  ~P s  |  ( # `  x
)  =  M }
)
118, 9, 10sylancr 658 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  =  {
x  e.  ~P s  |  ( # `  x
)  =  M }
)
12 hashfz1 12113 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
1312breq1d 4299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( (
# `  ( 1 ... M ) )  <_ 
( # `  s )  <-> 
M  <_  ( # `  s
) ) )
1413biimpar 482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  <_ 
( # `  s ) )
15 fzfid 11791 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
16 hashdom 12138 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  s  e.  _V )  ->  ( ( # `  (
1 ... M ) )  <_  ( # `  s
)  <->  ( 1 ... M )  ~<_  s ) )
1715, 8, 16sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
( # `  ( 1 ... M ) )  <_  ( # `  s
)  <->  ( 1 ... M )  ~<_  s ) )
1814, 17mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
1 ... M )  ~<_  s )
198domen 7319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... M )  ~<_  s  <->  E. x ( ( 1 ... M ) 
~~  x  /\  x  C_  s ) )
2018, 19sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  E. x
( ( 1 ... M )  ~~  x  /\  x  C_  s ) )
21 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  /\  (
( 1 ... M
)  ~~  x  /\  x  C_  s ) )  ->  x  C_  s
)
22 selpw 3864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ~P s  <->  x  C_  s
)
2321, 22sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  /\  (
( 1 ... M
)  ~~  x  /\  x  C_  s ) )  ->  x  e.  ~P s )
24 hasheni 12115 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1 ... M ) 
~~  x  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  ( # `  x
) )
2524ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  /\  (
( 1 ... M
)  ~~  x  /\  x  C_  s ) )  ->  ( # `  (
1 ... M ) )  =  ( # `  x
) )
2612ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  /\  (
( 1 ... M
)  ~~  x  /\  x  C_  s ) )  ->  ( # `  (
1 ... M ) )  =  M )
2725, 26eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  /\  (
( 1 ... M
)  ~~  x  /\  x  C_  s ) )  ->  ( # `  x
)  =  M )
2823, 27jca 529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  /\  (
( 1 ... M
)  ~~  x  /\  x  C_  s ) )  ->  ( x  e. 
~P s  /\  ( # `
 x )  =  M ) )
2928ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
( ( 1 ... M )  ~~  x  /\  x  C_  s )  ->  ( x  e. 
~P s  /\  ( # `
 x )  =  M ) ) )
3029eximdv 1681 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  ( E. x ( ( 1 ... M )  ~~  x  /\  x  C_  s
)  ->  E. x
( x  e.  ~P s  /\  ( # `  x
)  =  M ) ) )
3120, 30mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  E. x
( x  e.  ~P s  /\  ( # `  x
)  =  M ) )
32 df-rex 2719 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  ~P  s
( # `  x )  =  M  <->  E. x
( x  e.  ~P s  /\  ( # `  x
)  =  M ) )
3331, 32sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  E. x  e.  ~P  s ( # `  x )  =  M )
34 rabn0 3654 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  ~P s  |  ( # `  x
)  =  M }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  ~P  s ( # `  x
)  =  M )
3533, 34sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  { x  e.  ~P s  |  (
# `  x )  =  M }  =/=  (/) )
3611, 35eqnetrd 2624 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  =/=  (/) )
3736neneqd 2622 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  -.  ( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  =  (/) )
3837pm2.21d 106 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  =  (/)  ->  E. c  e.  (/)  E. x  e.  ~P  s
( ( (/) `  c
)  <_  ( # `  x
)  /\  ( x
( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
3938adantld 464 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
( f  =  (/)  /\  ( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  =  (/) )  ->  E. c  e.  (/)  E. x  e. 
~P  s ( (
(/) `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x
( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
407, 39syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
f : ( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) --> (/)  ->  E. c  e.  (/)  E. x  e.  ~P  s
( ( (/) `  c
)  <_  ( # `  x
)  /\  ( x
( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
4140impr 616 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( M  <_  ( # `  s )  /\  f : ( s ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) --> (/) ) )  ->  E. c  e.  (/)  E. x  e. 
~P  s ( (
(/) `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x
( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
421, 2, 4, 6, 2, 41ramub 14070 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M Ramsey  (/) )  <_  M )
43 nnnn0 10582 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
443a1i 11 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (/)  e.  _V )
455a1i 11 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (/) : (/) --> NN0 )
46 nnm1nn0 10617 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
47 f0 5589 . . . . . . 7  |-  (/) : (/) --> (/)
48 fzfid 11791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... ( M  - 
1 ) )  e. 
Fin )
491hashbc2 14063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... ( M  -  1 ) )  e.  Fin  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( # `  ( ( 1 ... ( M  -  1 ) ) ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) )  =  ( ( # `  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  _C  M
) )
5048, 43, 49syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) )  =  ( ( # `  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  _C  M
) )
51 hashfz1 12113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  -  1 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  =  ( M  -  1 ) )
5246, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  =  ( M  -  1 ) )
5352oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( # `  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  _C  M )  =  ( ( M  - 
1 )  _C  M
) )
54 nnz 10664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
55 nnre 10325 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
5655ltm1d 10261 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  <  M )
5756olcd 393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  <  0  \/  ( M  -  1 )  <  M ) )
58 bcval4 12079 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ  /\  ( M  <  0  \/  ( M  -  1 )  <  M ) )  ->  ( ( M  -  1 )  _C  M )  =  0 )
5946, 54, 57, 58syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  -  1 )  _C  M )  =  0 )
6050, 53, 593eqtrd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) )  =  0 )
61 ovex 6115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... ( M  -  1 ) ) ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  e. 
_V
62 hasheq0 12127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( M  -  1 ) ) ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  e.  _V  ->  ( ( # `  (
( 1 ... ( M  -  1 ) ) ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M ) )  =  0  <->  ( ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  =  (/) ) )
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  ( (
1 ... ( M  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) )  =  0  <->  ( (
1 ... ( M  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  =  (/) )
6460, 63sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 1 ... ( M  -  1 ) ) ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  =  (/) )
6564feq2d 5544 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( (/)
: ( ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) --> (/)  <->  (/) : (/) --> (/) ) )
6647, 65mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (/) : ( ( 1 ... ( M  -  1 ) ) ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M ) --> (/) )
67 noel 3638 . . . . . . . 8  |-  -.  c  e.  (/)
6867pm2.21i 131 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  (/)  ->  ( (
x ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  C_  ( `' (/) " { c } )  ->  ( # `
 x )  < 
( (/) `  c ) ) )
6968ad2antrl 722 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( c  e.  (/)  /\  x  C_  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) ) )  ->  ( (
x ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  C_  ( `' (/) " { c } )  ->  ( # `
 x )  < 
( (/) `  c ) ) )
701, 43, 44, 45, 46, 66, 69ramlb 14076 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  <  ( M Ramsey  (/) ) )
71 ramubcl 14075 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  (/)  e.  _V  /\  (/) : (/) --> NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  ( M Ramsey 
(/) )  <_  M
) )  ->  ( M Ramsey 
(/) )  e.  NN0 )
722, 4, 6, 2, 42, 71syl32anc 1221 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M Ramsey  (/) )  e.  NN0 )
7343, 72syl 16 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M Ramsey 
(/) )  e.  NN0 )
74 nn0lem1lt 10703 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  (/) )  e. 
NN0 )  ->  ( M  <_  ( M Ramsey  (/) )  <->  ( M  -  1 )  < 
( M Ramsey  (/) ) ) )
7543, 73, 74syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  <_  ( M Ramsey  (/) )  <->  ( M  -  1 )  < 
( M Ramsey  (/) ) ) )
7670, 75mpbird 232 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  <_  ( M Ramsey  (/) ) )
7776a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN  ->  M  <_  ( M Ramsey  (/) ) ) )
7872nn0ge0d 10635 . . . 4  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_ 
( M Ramsey  (/) ) )
79 breq1 4292 . . . 4  |-  ( M  =  0  ->  ( M  <_  ( M Ramsey  (/) )  <->  0  <_  ( M Ramsey  (/) ) ) )
8078, 79syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  =  0  ->  M  <_  ( M Ramsey  (/) ) ) )
81 elnn0 10577 . . . 4  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
8281biimpi 194 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
8377, 80, 82mpjaod 381 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  <_ 
( M Ramsey  (/) ) )
8472nn0red 10633 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M Ramsey  (/) )  e.  RR )
85 nn0re 10584 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
8684, 85letri3d 9512 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( M Ramsey  (/) )  =  M  <-> 
( ( M Ramsey  (/) )  <_  M  /\  M  <_  ( M Ramsey 
(/) ) ) ) )
8742, 83, 86mpbir2and 908 1  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M Ramsey  (/) )  =  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364   E.wex 1591    e. wcel 1761    =/= wne 2604   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ~Pcpw 3857   {csn 3874   class class class wbr 4289   `'ccnv 4835   "cima 4839   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092    ~~ cen 7303    ~<_ cdom 7304   Fincfn 7306   0cc0 9278   1c1 9279    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591   NNcn 10318   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ...cfz 11433    _C cbc 12074   #chash 12099   Ramsey cram 14056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-seq 11803  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-ram 14058
This theorem is referenced by:  0ramcl  14080  ramcl  14086
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