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Theorem ram0 14402
Description: The Ramsey number when  R  =  (/). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ram0  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M Ramsey  (/) )  =  M )

Proof of Theorem ram0
Dummy variables  b 
f  c  s  x  a  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . 3  |-  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
2 id 22 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e. 
NN0 )
3 0ex 4577 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
43a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  (/)  e.  _V )
5 f0 5766 . . . 4  |-  (/) : (/) --> NN0
65a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  (/) : (/) --> NN0 )
7 f00 5767 . . . . 5  |-  ( f : ( s ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) --> (/)  <->  (
f  =  (/)  /\  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  =  (/) ) )
8 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  s  e. 
_V
9 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  M  e.  NN0 )
101hashbcval 14382 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  _V  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  =  { x  e.  ~P s  |  ( # `  x
)  =  M }
)
118, 9, 10sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  =  {
x  e.  ~P s  |  ( # `  x
)  =  M }
)
12 hashfz1 12388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
1312breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( (
# `  ( 1 ... M ) )  <_ 
( # `  s )  <-> 
M  <_  ( # `  s
) ) )
1413biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  <_ 
( # `  s ) )
15 fzfid 12052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
16 hashdom 12416 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  s  e.  _V )  ->  ( ( # `  (
1 ... M ) )  <_  ( # `  s
)  <->  ( 1 ... M )  ~<_  s ) )
1715, 8, 16sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
( # `  ( 1 ... M ) )  <_  ( # `  s
)  <->  ( 1 ... M )  ~<_  s ) )
1814, 17mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
1 ... M )  ~<_  s )
198domen 7530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... M )  ~<_  s  <->  E. x ( ( 1 ... M ) 
~~  x  /\  x  C_  s ) )
2018, 19sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  E. x
( ( 1 ... M )  ~~  x  /\  x  C_  s ) )
21 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  /\  (
( 1 ... M
)  ~~  x  /\  x  C_  s ) )  ->  x  C_  s
)
22 selpw 4017 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ~P s  <->  x  C_  s
)
2321, 22sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  /\  (
( 1 ... M
)  ~~  x  /\  x  C_  s ) )  ->  x  e.  ~P s )
24 hasheni 12390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1 ... M ) 
~~  x  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  ( # `  x
) )
2524ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  /\  (
( 1 ... M
)  ~~  x  /\  x  C_  s ) )  ->  ( # `  (
1 ... M ) )  =  ( # `  x
) )
2612ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  /\  (
( 1 ... M
)  ~~  x  /\  x  C_  s ) )  ->  ( # `  (
1 ... M ) )  =  M )
2725, 26eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  /\  (
( 1 ... M
)  ~~  x  /\  x  C_  s ) )  ->  ( # `  x
)  =  M )
2823, 27jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  /\  (
( 1 ... M
)  ~~  x  /\  x  C_  s ) )  ->  ( x  e. 
~P s  /\  ( # `
 x )  =  M ) )
2928ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
( ( 1 ... M )  ~~  x  /\  x  C_  s )  ->  ( x  e. 
~P s  /\  ( # `
 x )  =  M ) ) )
3029eximdv 1686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  ( E. x ( ( 1 ... M )  ~~  x  /\  x  C_  s
)  ->  E. x
( x  e.  ~P s  /\  ( # `  x
)  =  M ) ) )
3120, 30mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  E. x
( x  e.  ~P s  /\  ( # `  x
)  =  M ) )
32 df-rex 2820 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  ~P  s
( # `  x )  =  M  <->  E. x
( x  e.  ~P s  /\  ( # `  x
)  =  M ) )
3331, 32sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  E. x  e.  ~P  s ( # `  x )  =  M )
34 rabn0 3805 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  ~P s  |  ( # `  x
)  =  M }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  ~P  s ( # `  x
)  =  M )
3533, 34sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  { x  e.  ~P s  |  (
# `  x )  =  M }  =/=  (/) )
3611, 35eqnetrd 2760 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  =/=  (/) )
3736neneqd 2669 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  -.  ( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  =  (/) )
3837pm2.21d 106 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  =  (/)  ->  E. c  e.  (/)  E. x  e.  ~P  s
( ( (/) `  c
)  <_  ( # `  x
)  /\  ( x
( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
3938adantld 467 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
( f  =  (/)  /\  ( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  =  (/) )  ->  E. c  e.  (/)  E. x  e. 
~P  s ( (
(/) `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x
( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
407, 39syl5bi 217 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
f : ( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) --> (/)  ->  E. c  e.  (/)  E. x  e.  ~P  s
( ( (/) `  c
)  <_  ( # `  x
)  /\  ( x
( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
4140impr 619 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( M  <_  ( # `  s )  /\  f : ( s ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) --> (/) ) )  ->  E. c  e.  (/)  E. x  e. 
~P  s ( (
(/) `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x
( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
421, 2, 4, 6, 2, 41ramub 14393 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M Ramsey  (/) )  <_  M )
43 nnnn0 10803 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
443a1i 11 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (/)  e.  _V )
455a1i 11 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (/) : (/) --> NN0 )
46 nnm1nn0 10838 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
47 f0 5766 . . . . . . 7  |-  (/) : (/) --> (/)
48 fzfid 12052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... ( M  - 
1 ) )  e. 
Fin )
491hashbc2 14386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... ( M  -  1 ) )  e.  Fin  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( # `  ( ( 1 ... ( M  -  1 ) ) ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) )  =  ( ( # `  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  _C  M
) )
5048, 43, 49syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) )  =  ( ( # `  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  _C  M
) )
51 hashfz1 12388 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  -  1 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  =  ( M  -  1 ) )
5246, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  =  ( M  -  1 ) )
5352oveq1d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( # `  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  _C  M )  =  ( ( M  - 
1 )  _C  M
) )
54 nnz 10887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
55 nnre 10544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
5655ltm1d 10479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  <  M )
5756olcd 393 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  <  0  \/  ( M  -  1 )  <  M ) )
58 bcval4 12354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ  /\  ( M  <  0  \/  ( M  -  1 )  <  M ) )  ->  ( ( M  -  1 )  _C  M )  =  0 )
5946, 54, 57, 58syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  -  1 )  _C  M )  =  0 )
6050, 53, 593eqtrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) )  =  0 )
61 ovex 6310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... ( M  -  1 ) ) ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  e. 
_V
62 hasheq0 12402 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( M  -  1 ) ) ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  e.  _V  ->  ( ( # `  (
( 1 ... ( M  -  1 ) ) ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M ) )  =  0  <->  ( ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  =  (/) ) )
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  ( (
1 ... ( M  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) )  =  0  <->  ( (
1 ... ( M  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  =  (/) )
6460, 63sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 1 ... ( M  -  1 ) ) ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  =  (/) )
6564feq2d 5718 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( (/)
: ( ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) --> (/)  <->  (/) : (/) --> (/) ) )
6647, 65mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (/) : ( ( 1 ... ( M  -  1 ) ) ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M ) --> (/) )
67 noel 3789 . . . . . . . 8  |-  -.  c  e.  (/)
6867pm2.21i 131 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  (/)  ->  ( (
x ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  C_  ( `' (/) " { c } )  ->  ( # `
 x )  < 
( (/) `  c ) ) )
6968ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( c  e.  (/)  /\  x  C_  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) ) )  ->  ( (
x ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  C_  ( `' (/) " { c } )  ->  ( # `
 x )  < 
( (/) `  c ) ) )
701, 43, 44, 45, 46, 66, 69ramlb 14399 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  <  ( M Ramsey  (/) ) )
71 ramubcl 14398 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  (/)  e.  _V  /\  (/) : (/) --> NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  ( M Ramsey 
(/) )  <_  M
) )  ->  ( M Ramsey 
(/) )  e.  NN0 )
722, 4, 6, 2, 42, 71syl32anc 1236 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M Ramsey  (/) )  e.  NN0 )
7343, 72syl 16 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M Ramsey 
(/) )  e.  NN0 )
74 nn0lem1lt 10927 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  (/) )  e. 
NN0 )  ->  ( M  <_  ( M Ramsey  (/) )  <->  ( M  -  1 )  < 
( M Ramsey  (/) ) ) )
7543, 73, 74syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  <_  ( M Ramsey  (/) )  <->  ( M  -  1 )  < 
( M Ramsey  (/) ) ) )
7670, 75mpbird 232 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  <_  ( M Ramsey  (/) ) )
7776a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN  ->  M  <_  ( M Ramsey  (/) ) ) )
7872nn0ge0d 10856 . . . 4  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_ 
( M Ramsey  (/) ) )
79 breq1 4450 . . . 4  |-  ( M  =  0  ->  ( M  <_  ( M Ramsey  (/) )  <->  0  <_  ( M Ramsey  (/) ) ) )
8078, 79syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  =  0  ->  M  <_  ( M Ramsey  (/) ) ) )
81 elnn0 10798 . . . 4  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
8281biimpi 194 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
8377, 80, 82mpjaod 381 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  <_ 
( M Ramsey  (/) ) )
8472nn0red 10854 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M Ramsey  (/) )  e.  RR )
85 nn0re 10805 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
8684, 85letri3d 9727 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( M Ramsey  (/) )  =  M  <-> 
( ( M Ramsey  (/) )  <_  M  /\  M  <_  ( M Ramsey 
(/) ) ) ) )
8742, 83, 86mpbir2and 920 1  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M Ramsey  (/) )  =  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {csn 4027   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   "cima 5002   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    |-> cmpt2 6287    ~~ cen 7514    ~<_ cdom 7515   Fincfn 7517   0cc0 9493   1c1 9494    < clt 9629    <_ cle 9630    - cmin 9806   NNcn 10537   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ...cfz 11673    _C cbc 12349   #chash 12374   Ramsey cram 14379
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-seq 12077  df-fac 12323  df-bc 12350  df-hash 12375  df-ram 14381
This theorem is referenced by:  0ramcl  14403  ramcl  14409
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