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Theorem ram0 15059
Description: The Ramsey number when  R  =  (/). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ram0  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M Ramsey  (/) )  =  M )

Proof of Theorem ram0
Dummy variables  b 
f  c  s  x  a  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . 3  |-  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )  =  ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } )
2 id 22 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e. 
NN0 )
3 0ex 4528 . . . 4  |-  (/)  e.  _V
43a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  (/)  e.  _V )
5 f0 5777 . . . 4  |-  (/) : (/) --> NN0
65a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  (/) : (/) --> NN0 )
7 f00 5778 . . . . 5  |-  ( f : ( s ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) --> (/)  <->  (
f  =  (/)  /\  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  =  (/) ) )
8 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  s  e. 
_V
9 simpl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  M  e.  NN0 )
101hashbcval 15033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( s  e.  _V  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  =  { x  e.  ~P s  |  ( # `  x
)  =  M }
)
118, 9, 10sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  =  {
x  e.  ~P s  |  ( # `  x
)  =  M }
)
12 hashfz1 12567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... M
) )  =  M )
1312breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( (
# `  ( 1 ... M ) )  <_ 
( # `  s )  <-> 
M  <_  ( # `  s
) ) )
1413biimpar 493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  <_ 
( # `  s ) )
15 fzfid 12224 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
1 ... M )  e. 
Fin )
16 hashdom 12596 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( 1 ... M
)  e.  Fin  /\  s  e.  _V )  ->  ( ( # `  (
1 ... M ) )  <_  ( # `  s
)  <->  ( 1 ... M )  ~<_  s ) )
1715, 8, 16sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
( # `  ( 1 ... M ) )  <_  ( # `  s
)  <->  ( 1 ... M )  ~<_  s ) )
1814, 17mpbid 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
1 ... M )  ~<_  s )
198domen 7600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1 ... M )  ~<_  s  <->  E. x ( ( 1 ... M ) 
~~  x  /\  x  C_  s ) )
2018, 19sylib 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  E. x
( ( 1 ... M )  ~~  x  /\  x  C_  s ) )
21 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  /\  (
( 1 ... M
)  ~~  x  /\  x  C_  s ) )  ->  x  C_  s
)
22 selpw 3949 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ~P s  <->  x  C_  s
)
2321, 22sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  /\  (
( 1 ... M
)  ~~  x  /\  x  C_  s ) )  ->  x  e.  ~P s )
24 hasheni 12569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 1 ... M ) 
~~  x  ->  ( # `
 ( 1 ... M ) )  =  ( # `  x
) )
2524ad2antrl 742 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  /\  (
( 1 ... M
)  ~~  x  /\  x  C_  s ) )  ->  ( # `  (
1 ... M ) )  =  ( # `  x
) )
2612ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  /\  (
( 1 ... M
)  ~~  x  /\  x  C_  s ) )  ->  ( # `  (
1 ... M ) )  =  M )
2725, 26eqtr3d 2507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  /\  (
( 1 ... M
)  ~~  x  /\  x  C_  s ) )  ->  ( # `  x
)  =  M )
2823, 27jca 541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  /\  (
( 1 ... M
)  ~~  x  /\  x  C_  s ) )  ->  ( x  e. 
~P s  /\  ( # `
 x )  =  M ) )
2928ex 441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
( ( 1 ... M )  ~~  x  /\  x  C_  s )  ->  ( x  e. 
~P s  /\  ( # `
 x )  =  M ) ) )
3029eximdv 1772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  ( E. x ( ( 1 ... M )  ~~  x  /\  x  C_  s
)  ->  E. x
( x  e.  ~P s  /\  ( # `  x
)  =  M ) ) )
3120, 30mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  E. x
( x  e.  ~P s  /\  ( # `  x
)  =  M ) )
32 df-rex 2762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. x  e.  ~P  s
( # `  x )  =  M  <->  E. x
( x  e.  ~P s  /\  ( # `  x
)  =  M ) )
3331, 32sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  E. x  e.  ~P  s ( # `  x )  =  M )
34 rabn0 3755 . . . . . . . . . 10  |-  ( { x  e.  ~P s  |  ( # `  x
)  =  M }  =/=  (/)  <->  E. x  e.  ~P  s ( # `  x
)  =  M )
3533, 34sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  { x  e.  ~P s  |  (
# `  x )  =  M }  =/=  (/) )
3611, 35eqnetrd 2710 . . . . . . . 8  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
s ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  =/=  (/) )
3736neneqd 2648 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  -.  ( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  =  (/) )
3837pm2.21d 109 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  =  (/)  ->  E. c  e.  (/)  E. x  e.  ~P  s
( ( (/) `  c
)  <_  ( # `  x
)  /\  ( x
( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
3938adantld 474 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
( f  =  (/)  /\  ( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  =  (/) )  ->  E. c  e.  (/)  E. x  e. 
~P  s ( (
(/) `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x
( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
407, 39syl5bi 225 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  M  <_  ( # `  s
) )  ->  (
f : ( s ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) --> (/)  ->  E. c  e.  (/)  E. x  e.  ~P  s
( ( (/) `  c
)  <_  ( # `  x
)  /\  ( x
( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) ) )
4140impr 631 . . 3  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( M  <_  ( # `  s )  /\  f : ( s ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) --> (/) ) )  ->  E. c  e.  (/)  E. x  e. 
~P  s ( (
(/) `  c )  <_  ( # `  x
)  /\  ( x
( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  C_  ( `' f " {
c } ) ) )
421, 2, 4, 6, 2, 41ramub 15049 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M Ramsey  (/) )  <_  M )
43 nnnn0 10900 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  NN0 )
443a1i 11 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (/)  e.  _V )
455a1i 11 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (/) : (/) --> NN0 )
46 nnm1nn0 10935 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  e.  NN0 )
47 f0 5777 . . . . . . 7  |-  (/) : (/) --> (/)
48 fzfid 12224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  (
1 ... ( M  - 
1 ) )  e. 
Fin )
491hashbc2 15037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1 ... ( M  -  1 ) )  e.  Fin  /\  M  e.  NN0 )  -> 
( # `  ( ( 1 ... ( M  -  1 ) ) ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) )  =  ( ( # `  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  _C  M
) )
5048, 43, 49syl2anc 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) )  =  ( ( # `  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  _C  M
) )
51 hashfz1 12567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( M  -  1 )  e.  NN0  ->  ( # `  ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  =  ( M  -  1 ) )
5246, 51syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( 1 ... ( M  -  1 ) ) )  =  ( M  -  1 ) )
5352oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( # `  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) )  _C  M )  =  ( ( M  - 
1 )  _C  M
) )
54 nnz 10983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  ZZ )
55 nnre 10638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( M  e.  NN  ->  M  e.  RR )
5655ltm1d 10561 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  <  M )
5756olcd 400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  <  0  \/  ( M  -  1 )  <  M ) )
58 bcval4 12530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  NN0  /\  M  e.  ZZ  /\  ( M  <  0  \/  ( M  -  1 )  <  M ) )  ->  ( ( M  -  1 )  _C  M )  =  0 )
5946, 54, 57, 58syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( M  -  1 )  _C  M )  =  0 )
6050, 53, 593eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  NN  ->  ( # `
 ( ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) )  =  0 )
61 ovex 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1 ... ( M  -  1 ) ) ( a  e.  _V ,  i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  e. 
_V
62 hasheq0 12582 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... ( M  -  1 ) ) ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  e.  _V  ->  ( ( # `  (
( 1 ... ( M  -  1 ) ) ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M ) )  =  0  <->  ( ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  =  (/) ) )
6361, 62ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
# `  ( (
1 ... ( M  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) )  =  0  <->  ( (
1 ... ( M  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M )  =  (/) )
6460, 63sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( 1 ... ( M  -  1 ) ) ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  =  (/) )
6564feq2d 5725 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN  ->  ( (/)
: ( ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) ( a  e.  _V , 
i  e.  NN0  |->  { b  e.  ~P a  |  ( # `  b
)  =  i } ) M ) --> (/)  <->  (/) : (/) --> (/) ) )
6647, 65mpbiri 241 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  (/) : ( ( 1 ... ( M  -  1 ) ) ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M ) --> (/) )
67 noel 3726 . . . . . . . 8  |-  -.  c  e.  (/)
6867pm2.21i 136 . . . . . . 7  |-  ( c  e.  (/)  ->  ( (
x ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  C_  ( `' (/) " { c } )  ->  ( # `
 x )  < 
( (/) `  c ) ) )
6968ad2antrl 742 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN  /\  ( c  e.  (/)  /\  x  C_  ( 1 ... ( M  - 
1 ) ) ) )  ->  ( (
x ( a  e. 
_V ,  i  e. 
NN0  |->  { b  e. 
~P a  |  (
# `  b )  =  i } ) M )  C_  ( `' (/) " { c } )  ->  ( # `
 x )  < 
( (/) `  c ) ) )
701, 43, 44, 45, 46, 66, 69ramlb 15056 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  -  1 )  <  ( M Ramsey  (/) ) )
71 ramubcl 15055 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( M  e.  NN0  /\  (/)  e.  _V  /\  (/) : (/) --> NN0 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  ( M Ramsey 
(/) )  <_  M
) )  ->  ( M Ramsey 
(/) )  e.  NN0 )
722, 4, 6, 2, 42, 71syl32anc 1300 . . . . . . 7  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M Ramsey  (/) )  e.  NN0 )
7343, 72syl 17 . . . . . 6  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M Ramsey 
(/) )  e.  NN0 )
74 nn0lem1lt 11024 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  ( M Ramsey  (/) )  e. 
NN0 )  ->  ( M  <_  ( M Ramsey  (/) )  <->  ( M  -  1 )  < 
( M Ramsey  (/) ) ) )
7543, 73, 74syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  ( M  <_  ( M Ramsey  (/) )  <->  ( M  -  1 )  < 
( M Ramsey  (/) ) ) )
7670, 75mpbird 240 . . . 4  |-  ( M  e.  NN  ->  M  <_  ( M Ramsey  (/) ) )
7776a1i 11 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN  ->  M  <_  ( M Ramsey  (/) ) ) )
7872nn0ge0d 10952 . . . 4  |-  ( M  e.  NN0  ->  0  <_ 
( M Ramsey  (/) ) )
79 breq1 4398 . . . 4  |-  ( M  =  0  ->  ( M  <_  ( M Ramsey  (/) )  <->  0  <_  ( M Ramsey  (/) ) ) )
8078, 79syl5ibrcom 230 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  =  0  ->  M  <_  ( M Ramsey  (/) ) ) )
81 elnn0 10895 . . . 4  |-  ( M  e.  NN0  <->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
8281biimpi 199 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M  e.  NN  \/  M  =  0 ) )
8377, 80, 82mpjaod 388 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  <_ 
( M Ramsey  (/) ) )
8472nn0red 10950 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M Ramsey  (/) )  e.  RR )
85 nn0re 10902 . . 3  |-  ( M  e.  NN0  ->  M  e.  RR )
8684, 85letri3d 9794 . 2  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( ( M Ramsey  (/) )  =  M  <-> 
( ( M Ramsey  (/) )  <_  M  /\  M  <_  ( M Ramsey 
(/) ) ) ) )
8742, 83, 86mpbir2and 936 1  |-  ( M  e.  NN0  ->  ( M Ramsey  (/) )  =  M )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904    =/= wne 2641   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   class class class wbr 4395   `'ccnv 4838   "cima 4842   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310    ~~ cen 7584    ~<_ cdom 7585   Fincfn 7587   0cc0 9557   1c1 9558    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ...cfz 11810    _C cbc 12525   #chash 12553   Ramsey cram 15028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-fz 11811  df-seq 12252  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-ram 15031
This theorem is referenced by:  0ramcl  15060  ramcl  15066
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