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Theorem ralxpmap 7487
Description: Quantification over functions in terms of quantification over values and punctured functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 5-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ralxpmap.j  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. J ,  y
>. } )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
Assertion
Ref Expression
ralxpmap  |-  ( J  e.  T  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  T ) ph  <->  A. y  e.  S  A. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ps ) )
Distinct variable groups:    ph, g, y    ps, f    f, J, g, y    S, f, g, y    T, f, g, y
Allowed substitution hints:    ph( f)    ps( y, g)

Proof of Theorem ralxpmap
StepHypRef Expression
1 vex 3112 . . 3  |-  g  e. 
_V
2 snex 4697 . . 3  |-  { <. J ,  y >. }  e.  _V
31, 2unex 6597 . 2  |-  ( g  u.  { <. J , 
y >. } )  e. 
_V
4 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
f  e.  ( S  ^m  T ) )
5 elmapex 7458 . . . . . . . . 9  |-  ( f  e.  ( S  ^m  T )  ->  ( S  e.  _V  /\  T  e.  _V ) )
65adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( S  e.  _V  /\  T  e.  _V )
)
7 elmapg 7451 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  _V  /\  T  e.  _V )  ->  ( f  e.  ( S  ^m  T )  <-> 
f : T --> S ) )
86, 7syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( f  e.  ( S  ^m  T )  <-> 
f : T --> S ) )
94, 8mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
f : T --> S )
10 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  ->  J  e.  T )
119, 10ffvelrnd 6033 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( f `  J
)  e.  S )
12 difss 3627 . . . . . . 7  |-  ( T 
\  { J }
)  C_  T
13 fssres 5757 . . . . . . 7  |-  ( ( f : T --> S  /\  ( T  \  { J } )  C_  T
)  ->  ( f  |`  ( T  \  { J } ) ) : ( T  \  { J } ) --> S )
149, 12, 13sylancl 662 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( f  |`  ( T  \  { J }
) ) : ( T  \  { J } ) --> S )
155simpld 459 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  ( S  ^m  T )  ->  S  e.  _V )
1615adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  ->  S  e.  _V )
176simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  ->  T  e.  _V )
18 difexg 4604 . . . . . . . 8  |-  ( T  e.  _V  ->  ( T  \  { J }
)  e.  _V )
1917, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( T  \  { J } )  e.  _V )
2016, 19elmapd 7452 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J }
) )  <->  ( f  |`  ( T  \  { J } ) ) : ( T  \  { J } ) --> S ) )
2114, 20mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
( f  |`  ( T  \  { J }
) )  e.  ( S  ^m  ( T 
\  { J }
) ) )
22 ffn 5737 . . . . . . 7  |-  ( f : T --> S  -> 
f  Fn  T )
239, 22syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
f  Fn  T )
24 fnsnsplit 6109 . . . . . 6  |-  ( ( f  Fn  T  /\  J  e.  T )  ->  f  =  ( ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  u.  { <. J ,  ( f `  J ) >. } ) )
2523, 10, 24syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  -> 
f  =  ( ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  u.  { <. J ,  ( f `  J ) >. } ) )
26 opeq2 4220 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( f `  J )  ->  <. J , 
y >.  =  <. J , 
( f `  J
) >. )
2726sneqd 4044 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( f `  J )  ->  { <. J ,  y >. }  =  { <. J ,  ( f `  J )
>. } )
2827uneq2d 3654 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( f `  J )  ->  (
g  u.  { <. J ,  y >. } )  =  ( g  u. 
{ <. J ,  ( f `  J )
>. } ) )
2928eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( f `  J )  ->  (
f  =  ( g  u.  { <. J , 
y >. } )  <->  f  =  ( g  u.  { <. J ,  ( f `
 J ) >. } ) ) )
30 uneq1 3647 . . . . . . 7  |-  ( g  =  ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  -> 
( g  u.  { <. J ,  ( f `
 J ) >. } )  =  ( ( f  |`  ( T  \  { J }
) )  u.  { <. J ,  ( f `
 J ) >. } ) )
3130eqeq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( g  =  ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  -> 
( f  =  ( g  u.  { <. J ,  ( f `  J ) >. } )  <-> 
f  =  ( ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  u.  { <. J ,  ( f `  J ) >. } ) ) )
3229, 31rspc2ev 3221 . . . . 5  |-  ( ( ( f `  J
)  e.  S  /\  ( f  |`  ( T  \  { J }
) )  e.  ( S  ^m  ( T 
\  { J }
) )  /\  f  =  ( ( f  |`  ( T  \  { J } ) )  u. 
{ <. J ,  ( f `  J )
>. } ) )  ->  E. y  e.  S  E. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) f  =  ( g  u.  { <. J , 
y >. } ) )
3311, 21, 25, 32syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  e.  ( S  ^m  T ) )  ->  E. y  e.  S  E. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) f  =  ( g  u.  { <. J , 
y >. } ) )
3433ex 434 . . 3  |-  ( J  e.  T  ->  (
f  e.  ( S  ^m  T )  ->  E. y  e.  S  E. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) f  =  ( g  u.  { <. J , 
y >. } ) ) )
35 elmapi 7459 . . . . . . . . . 10  |-  ( g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) )  -> 
g : ( T 
\  { J }
) --> S )
3635ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  g : ( T  \  { J } ) --> S )
37 vex 3112 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
38 f1osng 5860 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  T  /\  y  e.  _V )  ->  { <. J ,  y
>. } : { J }
-1-1-onto-> { y } )
39 f1of 5822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( {
<. J ,  y >. } : { J } -1-1-onto-> {
y }  ->  { <. J ,  y >. } : { J } --> { y } )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  T  /\  y  e.  _V )  ->  { <. J ,  y
>. } : { J }
--> { y } )
4137, 40mpan2 671 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  T  ->  { <. J ,  y >. } : { J } --> { y } )
4241adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  { <. J ,  y >. } : { J } --> { y } )
43 incom 3687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( T  \  { J } )  i^i  { J } )  =  ( { J }  i^i  ( T  \  { J } ) )
44 disjdif 3903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { J }  i^i  ( T  \  { J }
) )  =  (/)
4543, 44eqtri 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  \  { J } )  i^i  { J } )  =  (/)
4645a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
( T  \  { J } )  i^i  { J } )  =  (/) )
47 fun 5754 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : ( T  \  { J } ) --> S  /\  {
<. J ,  y >. } : { J } --> { y } )  /\  ( ( T 
\  { J }
)  i^i  { J } )  =  (/) )  ->  ( g  u. 
{ <. J ,  y
>. } ) : ( ( T  \  { J } )  u.  { J } ) --> ( S  u.  { y } ) )
4836, 42, 46, 47syl21anc 1227 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
g  u.  { <. J ,  y >. } ) : ( ( T 
\  { J }
)  u.  { J } ) --> ( S  u.  { y } ) )
49 uncom 3644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  \  { J } )  u.  { J } )  =  ( { J }  u.  ( T  \  { J } ) )
50 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  J  e.  T )
5150snssd 4177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  { J }  C_  T )
52 undif 3911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( { J }  C_  T  <->  ( { J }  u.  ( T  \  { J } ) )  =  T )
5351, 52sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  ( { J }  u.  ( T  \  { J }
) )  =  T )
5449, 53syl5eq 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
( T  \  { J } )  u.  { J } )  =  T )
5554feq2d 5724 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
( g  u.  { <. J ,  y >. } ) : ( ( T  \  { J } )  u.  { J } ) --> ( S  u.  { y } )  <->  ( g  u. 
{ <. J ,  y
>. } ) : T --> ( S  u.  { y } ) ) )
5648, 55mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
g  u.  { <. J ,  y >. } ) : T --> ( S  u.  { y } ) )
57 ssid 3518 . . . . . . . . 9  |-  S  C_  S
5857a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  S  C_  S )
59 snssi 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  S  ->  { y }  C_  S )
6059ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  { y }  C_  S )
6158, 60unssd 3676 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  ( S  u.  { y } )  C_  S
)
6256, 61fssd 5746 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
g  u.  { <. J ,  y >. } ) : T --> S )
63 elmapex 7458 . . . . . . . . 9  |-  ( g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) )  -> 
( S  e.  _V  /\  ( T  \  { J } )  e.  _V ) )
6463ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  ( S  e.  _V  /\  ( T  \  { J }
)  e.  _V )
)
6564simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  S  e.  _V )
66 ssun1 3663 . . . . . . . 8  |-  T  C_  ( T  u.  { J } )
67 undif1 3906 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  \  { J } )  u.  { J } )  =  ( T  u.  { J } )
6864simprd 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  ( T  \  { J }
)  e.  _V )
69 snex 4697 . . . . . . . . . 10  |-  { J }  e.  _V
70 unexg 6600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( T  \  { J } )  e.  _V  /\ 
{ J }  e.  _V )  ->  ( ( T  \  { J } )  u.  { J } )  e.  _V )
7168, 69, 70sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
( T  \  { J } )  u.  { J } )  e.  _V )
7267, 71syl5eqelr 2550 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  ( T  u.  { J } )  e.  _V )
73 ssexg 4602 . . . . . . . 8  |-  ( ( T  C_  ( T  u.  { J } )  /\  ( T  u.  { J } )  e. 
_V )  ->  T  e.  _V )
7466, 72, 73sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  T  e.  _V )
7565, 74elmapd 7452 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
( g  u.  { <. J ,  y >. } )  e.  ( S  ^m  T )  <-> 
( g  u.  { <. J ,  y >. } ) : T --> S ) )
7662, 75mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
g  u.  { <. J ,  y >. } )  e.  ( S  ^m  T ) )
77 eleq1 2529 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. J ,  y
>. } )  ->  (
f  e.  ( S  ^m  T )  <->  ( g  u.  { <. J ,  y
>. } )  e.  ( S  ^m  T ) ) )
7876, 77syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( J  e.  T  /\  ( y  e.  S  /\  g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ) )  ->  (
f  =  ( g  u.  { <. J , 
y >. } )  -> 
f  e.  ( S  ^m  T ) ) )
7978rexlimdvva 2956 . . 3  |-  ( J  e.  T  ->  ( E. y  e.  S  E. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) f  =  ( g  u.  { <. J , 
y >. } )  -> 
f  e.  ( S  ^m  T ) ) )
8034, 79impbid 191 . 2  |-  ( J  e.  T  ->  (
f  e.  ( S  ^m  T )  <->  E. y  e.  S  E. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J }
) ) f  =  ( g  u.  { <. J ,  y >. } ) ) )
81 ralxpmap.j . . 3  |-  ( f  =  ( g  u. 
{ <. J ,  y
>. } )  ->  ( ph 
<->  ps ) )
8281adantl 466 . 2  |-  ( ( J  e.  T  /\  f  =  ( g  u.  { <. J ,  y
>. } ) )  -> 
( ph  <->  ps ) )
833, 80, 82ralxpxfr2d 3224 1  |-  ( J  e.  T  ->  ( A. f  e.  ( S  ^m  T ) ph  <->  A. y  e.  S  A. g  e.  ( S  ^m  ( T  \  { J } ) ) ps ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {csn 4032   <.cop 4038    |` cres 5010    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    ^m cmap 7438
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-map 7440
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