MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ralxp Structured version   Unicode version

Theorem ralxp 4979
Description: Universal quantification restricted to a Cartesian product is equivalent to a double restricted quantification. The hypothesis specifies an implicit substitution. (Contributed by NM, 7-Feb-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ralxp.1  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  ps )
)
Assertion
Ref Expression
ralxp  |-  ( A. x  e.  ( A  X.  B ) ph  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ps )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, z    ph, y, z    ps, x    y, B
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y, z)

Proof of Theorem ralxp
StepHypRef Expression
1 iunxpconst 4893 . . 3  |-  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  B
)  =  ( A  X.  B )
21raleqi 2919 . 2  |-  ( A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )
ph 
<-> 
A. x  e.  ( A  X.  B )
ph )
3 ralxp.1 . . 3  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  ps )
)
43raliunxp 4977 . 2  |-  ( A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )
ph 
<-> 
A. y  e.  A  A. z  e.  B  ps )
52, 4bitr3i 251 1  |-  ( A. x  e.  ( A  X.  B ) ph  <->  A. y  e.  A  A. z  e.  B  ps )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369   A.wral 2713   {csn 3875   <.cop 3881   U_ciun 4169    X. cxp 4836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pr 4529
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-nul 3636  df-if 3790  df-sn 3876  df-pr 3878  df-op 3882  df-iun 4171  df-opab 4349  df-xp 4844  df-rel 4845
This theorem is referenced by:  ralxpf  4984  issref  5209  ffnov  6192  eqfnov  6194  funimassov  6238  f1stres  6596  f2ndres  6597  ecopover  7202  xpf1o  7471  xpwdomg  7798  rankxplim  8084  imasaddfnlem  14464  imasvscafn  14473  comfeq  14643  isssc  14731  isfuncd  14773  cofucl  14796  funcres2b  14805  evlfcl  15030  uncfcurf  15047  yonedalem3  15088  yonedainv  15089  efgval2  16219  txbas  19138  hausdiag  19216  tx1stc  19221  txkgen  19223  xkococn  19231  cnmpt21  19242  xkoinjcn  19258  tmdcn2  19658  clssubg  19677  divstgplem  19689  txmetcnp  20120  txmetcn  20121  qtopbaslem  20335  bndth  20528  cxpcn3  22184  dvdsmulf1o  22532  fsumdvdsmul  22533  xrofsup  26053  txpcon  27119  cvmlift2lem1  27189  cvmlift2lem12  27201  f1opr  28615  ismtyhmeolem  28700  ffnaov  30102  dih1dimatlem  34971
  Copyright terms: Public domain W3C validator