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Theorem raluz2 10896
Description: Restricted universal quantification in an upper set of integers. (Contributed by NM, 9-Sep-2005.)
Assertion
Ref Expression
raluz2  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M ) ph  <->  ( M  e.  ZZ  ->  A. n  e.  ZZ  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )
Distinct variable group:    n, M
Allowed substitution hint:    ph( n)

Proof of Theorem raluz2
StepHypRef Expression
1 eluz2 10859 . . . . . 6  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  M  <_  n ) )
2 3anass 969 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n ) ) )
31, 2bitri 249 . . . . 5  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  M
)  <->  ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n ) ) )
43imbi1i 325 . . . 4  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ph )  <->  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )
)  ->  ph ) )
5 impexp 446 . . . . . 6  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )
)  ->  ph )  <->  ( M  e.  ZZ  ->  ( (
n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )  ->  ph ) ) )
6 impexp 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )  ->  ph )  <->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )
76imbi2i 312 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  ->  ( ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )  ->  ph ) )  <->  ( M  e.  ZZ  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) ) )
85, 7bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )
)  ->  ph )  <->  ( M  e.  ZZ  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) ) )
9 bi2.04 361 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  ->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )  <->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) ) )
108, 9bitri 249 . . . 4  |-  ( ( ( M  e.  ZZ  /\  ( n  e.  ZZ  /\  M  <_  n )
)  ->  ph )  <->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) ) )
114, 10bitri 249 . . 3  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= `  M )  ->  ph )  <->  ( n  e.  ZZ  ->  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) ) )
1211ralbii2 2738 . 2  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M ) ph  <->  A. n  e.  ZZ  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )
13 r19.21v 2798 . 2  |-  ( A. n  e.  ZZ  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  <_  n  ->  ph ) )  <->  ( M  e.  ZZ  ->  A. n  e.  ZZ  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )
1412, 13bitri 249 1  |-  ( A. n  e.  ( ZZ>= `  M ) ph  <->  ( M  e.  ZZ  ->  A. n  e.  ZZ  ( M  <_  n  ->  ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   A.wral 2710   class class class wbr 4287   ` cfv 5413    <_ cle 9411   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-fv 5421  df-ov 6089  df-neg 9590  df-z 10639  df-uz 10854
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