Theorem ralrn 5832

Description: Restricted universal quantification over the range of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexrn.1	|- ( x = ( F ` y ) -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ralrn	|- ( F Fn A -> ( A. x e. ran F ph <-> A. y e. A ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y   ps, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem ralrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 5701	. . 3 |- ( F ` y ) e. _V
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( F Fn A /\ y e. A ) -> ( F ` y ) e. _V )
3		fvelrnb 5733	. . 3 |- ( F Fn A -> ( x e. ran F <-> E. y e. A ( F ` y ) = x ) )
4		eqcom 2406	. . . 4 |- ( ( F ` y ) = x <-> x = ( F ` y ) )
5	4	rexbii 2691	. . 3 |- ( E. y e. A ( F ` y ) = x <-> E. y e. A x = ( F ` y ) )
6	3, 5	syl6bb 253	. 2 |- ( F Fn A -> ( x e. ran F <-> E. y e. A x = ( F ` y ) ) )
7		rexrn.1	. . 3 |- ( x = ( F ` y ) -> ( ph <-> ps ) )
8	7	adantl 453	. 2 |- ( ( F Fn A /\ x = ( F ` y ) ) -> ( ph <-> ps ) )
9	2, 6, 8	ralxfr2d 4698	1 |- ( F Fn A -> ( A. x e. ran F ph <-> A. y e. A ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   ran crn 4838   Fn wfn 5408   ` cfv 5413

This theorem is referenced by:  ralrnmpt  5837  cbvfo  5981  isoselem  6020  indexfi  7372  ordtypelem9  7451  ordtypelem10  7452  wemapwe  7610  numacn  7886  acndom  7888  rpnnen1lem3  10558  fsequb2  11270  limsuple  12227  limsupval2  12229  climsup  12418  ruclem11  12794  ruclem12  12795  prmreclem6  13244  imasaddfnlem  13708  imasvscafn  13717  cycsubgcl  14921  ghmrn  14974  ghmnsgima  14984  pgpssslw  15203  gexex  15423  dprdfcntz  15528  znf1o  16787  ptcnplem  17606  kqt0lem  17721  isr0  17722  regr1lem2  17725  uzrest  17882  tmdgsum2  18079  imasf1oxmet  18358  imasf1omet  18359  bndth  18936  evth  18937  ovolficcss  19319  ovollb2lem  19337  ovolunlem1  19346  ovoliunlem1  19351  ovoliunlem2  19352  ovoliun2  19355  ovolscalem1  19362  ovolicc1  19365  voliunlem2  19398  voliunlem3  19399  ioombl1lem4  19408  uniioovol  19424  uniioombllem2  19428  uniioombllem3  19430  uniioombllem6  19433  volsup2  19450  vitalilem3  19455  mbfsup  19509  mbfinf  19510  mbflimsup  19511  itg1ge0  19531  itg1mulc  19549  itg1climres  19559  mbfi1fseqlem4  19563  itg2seq  19587  itg2monolem1  19595  itg2mono  19598  itg2i1fseq2  19601  itg2gt0  19605  itg2cnlem1  19606  itg2cn  19608  limciun  19734  plycpn  20159  hmopidmchi  23607  hmopidmpji  23608  rge0scvg  24288  mblfinlem  26143  ismtyhmeolem  26403  nacsfix  26656  fnwe2lem2  27016  frlmlbs  27117  lindfrn  27159  climinf  27599

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pr 4363

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-fv 5421