Theorem ralrn 5843

Description: Restricted universal quantification over the range of a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Aug-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
rexrn.1	|- ( x = ( F ` y ) -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
ralrn	|- ( F Fn A -> ( A. x e. ran F ph <-> A. y e. A ps ) )

Distinct variable groups:   x, y, A   x, F, y   ps, x   ph, y

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y)

Proof of Theorem ralrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 5698	. . 3 |- ( F ` y ) e. _V
2	1	a1i 11	. 2 |- ( ( F Fn A /\ y e. A ) -> ( F ` y ) e. _V )
3		fvelrnb 5736	. . 3 |- ( F Fn A -> ( x e. ran F <-> E. y e. A ( F ` y ) = x ) )
4		eqcom 2443	. . . 4 |- ( ( F ` y ) = x <-> x = ( F ` y ) )
5	4	rexbii 2738	. . 3 |- ( E. y e. A ( F ` y ) = x <-> E. y e. A x = ( F ` y ) )
6	3, 5	syl6bb 261	. 2 |- ( F Fn A -> ( x e. ran F <-> E. y e. A x = ( F ` y ) ) )
7		rexrn.1	. . 3 |- ( x = ( F ` y ) -> ( ph <-> ps ) )
8	7	adantl 463	. 2 |- ( ( F Fn A /\ x = ( F ` y ) ) -> ( ph <-> ps ) )
9	2, 6, 8	ralxfr2d 4505	1 |- ( F Fn A -> ( A. x e. ran F ph <-> A. y e. A ps ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   ran crn 4837   Fn wfn 5410   ` cfv 5415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-fv 5423

This theorem is referenced by:  ralrnmpt  5849  cbvfo  5990  isoselem  6029  indexfi  7615  ordtypelem9  7736  ordtypelem10  7737  wemapwe  7924  wemapweOLD  7925  numacn  8215  acndom  8217  rpnnen1lem3  10977  fsequb2  11794  limsuple  12952  limsupval2  12954  climsup  13143  ruclem11  13518  ruclem12  13519  prmreclem6  13978  imasaddfnlem  14462  imasvscafn  14471  cycsubgcl  15700  ghmrn  15753  ghmnsgima  15763  pgpssslw  16106  gexex  16328  dprdfcntz  16489  dprdfcntzOLD  16495  znf1o  17943  frlmlbs  18184  lindfrn  18209  ptcnplem  19153  kqt0lem  19268  isr0  19269  regr1lem2  19272  uzrest  19429  tmdgsum2  19626  imasf1oxmet  19909  imasf1omet  19910  bndth  20489  evth  20490  ovolficcss  20912  ovollb2lem  20930  ovolunlem1  20939  ovoliunlem1  20944  ovoliunlem2  20945  ovoliun2  20948  ovolscalem1  20955  ovolicc1  20958  voliunlem2  20991  voliunlem3  20992  ioombl1lem4  21001  uniioovol  21018  uniioombllem2  21022  uniioombllem3  21024  uniioombllem6  21027  volsup2  21044  vitalilem3  21049  mbfsup  21101  mbfinf  21102  mbflimsup  21103  itg1ge0  21123  itg1mulc  21141  itg1climres  21151  mbfi1fseqlem4  21155  itg2seq  21179  itg2monolem1  21187  itg2mono  21190  itg2i1fseq2  21193  itg2gt0  21197  itg2cnlem1  21198  itg2cn  21200  limciun  21328  plycpn  21714  hmopidmchi  25490  hmopidmpji  25491  rge0scvg  26315  mblfinlem2  28354  ismtyhmeolem  28628  nacsfix  28973  fnwe2lem2  29329  climinf  29704