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Theorem raliunxp 5079
Description: Write a double restricted quantification as one universal quantifier. In this version of ralxp 5081, 
B ( y ) is not assumed to be constant. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ralxp.1  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  ps )
)
Assertion
Ref Expression
raliunxp  |-  ( A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )
ph 
<-> 
A. y  e.  A  A. z  e.  B  ps )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, z    ph, y, z    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y, z)    B( y)

Proof of Theorem raliunxp
StepHypRef Expression
1 eliunxp 5077 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  B )  <->  E. y E. z ( x  =  <. y ,  z >.  /\  (
y  e.  A  /\  z  e.  B )
) )
21imbi1i 325 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  B
)  ->  ph )  <->  ( E. y E. z ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  ->  ph ) )
3 19.23vv 1920 . . . . 5  |-  ( A. y A. z ( ( x  =  <. y ,  z >.  /\  (
y  e.  A  /\  z  e.  B )
)  ->  ph )  <->  ( E. y E. z ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  ->  ph ) )
42, 3bitr4i 252 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  B
)  ->  ph )  <->  A. y A. z ( ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  ->  ph ) )
54albii 1611 . . 3  |-  ( A. x ( x  e. 
U_ y  e.  A  ( { y }  X.  B )  ->  ph )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  ->  ph ) )
6 alrot3 1786 . . . 4  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x  = 
<. y ,  z >.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  ph )  <->  A. y A. z A. x ( ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  ->  ph ) )
7 impexp 446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  =  <. y ,  z >.  /\  (
y  e.  A  /\  z  e.  B )
)  ->  ph )  <->  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ph )
) )
87albii 1611 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  ->  ph )  <->  A. x ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ph )
) )
9 opex 4656 . . . . . . 7  |-  <. y ,  z >.  e.  _V
10 ralxp.1 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  ps )
)
1110imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ph )  <->  ( (
y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ps ) ) )
129, 11ceqsalv 3098 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  = 
<. y ,  z >.  ->  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ph )
)  <->  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ps ) )
138, 12bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  ->  ph )  <->  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ps ) )
14132albii 1612 . . . 4  |-  ( A. y A. z A. x
( ( x  = 
<. y ,  z >.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  ph )  <->  A. y A. z ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  ->  ps )
)
156, 14bitri 249 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x  = 
<. y ,  z >.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  ph )  <->  A. y A. z ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  ->  ps )
)
165, 15bitri 249 . 2  |-  ( A. x ( x  e. 
U_ y  e.  A  ( { y }  X.  B )  ->  ph )  <->  A. y A. z ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  ->  ps )
)
17 df-ral 2800 . 2  |-  ( A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )
ph 
<-> 
A. x ( x  e.  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  B )  ->  ph ) )
18 r2al 2861 . 2  |-  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ps  <->  A. y A. z ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  ->  ps )
)
1916, 17, 183bitr4i 277 1  |-  ( A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )
ph 
<-> 
A. y  e.  A  A. z  e.  B  ps )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1368    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2795   {csn 3977   <.cop 3983   U_ciun 4271    X. cxp 4938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pr 4631
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-nul 3738  df-if 3892  df-sn 3978  df-pr 3980  df-op 3984  df-iun 4273  df-opab 4451  df-xp 4946  df-rel 4947
This theorem is referenced by:  rexiunxp  5080  ralxp  5081  fmpt2x  6742  ovmptss  6756  filnetlem4  28742
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