Theorem raliunxp 4963

Description: Write a double restricted quantification as one universal quantifier. In this version of ralxp 4965, B ( y ) is not assumed to be constant. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
ralxp.1	|- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )

Assertion

Ref	Expression
raliunxp	|- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )

Distinct variable groups:   x, y, z, A   x, B, z   ph, y, z   ps, x

Allowed substitution hints:   ph( x)   ps( y, z)   B( y)

Proof of Theorem raliunxp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliunxp 4961	. . . . . 6 |- ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) <-> E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) )
2	1	imbi1i 323	. . . . 5 |- ( ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) <-> ( E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
3		19.23vv 1785	. . . . 5 |- ( A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> ( E. y E. z ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
4	2, 3	bitr4i 252	. . . 4 |- ( ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) <-> A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
5	4	albii 1661	. . 3 |- ( A. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) <-> A. x A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
6		alrot3 1870	. . . 4 |- ( A. x A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> A. y A. z A. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) )
7		impexp 444	. . . . . . 7 |- ( ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> ( x = <. y , z >. -> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ph ) ) )
8	7	albii 1661	. . . . . 6 |- ( A. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> A. x ( x = <. y , z >. -> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ph ) ) )
9		opex 4655	. . . . . . 7 |- <. y , z >. e. _V
10		ralxp.1	. . . . . . . 8 |- ( x = <. y , z >. -> ( ph <-> ps ) )
11	10	imbi2d 314	. . . . . . 7 |- ( x = <. y , z >. -> ( ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ph ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) ) )
12	9, 11	ceqsalv 3087	. . . . . 6 |- ( A. x ( x = <. y , z >. -> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ph ) ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
13	8, 12	bitri 249	. . . . 5 |- ( A. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
14	13	2albii 1662	. . . 4 |- ( A. y A. z A. x ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> A. y A. z ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
15	6, 14	bitri 249	. . 3 |- ( A. x A. y A. z ( ( x = <. y , z >. /\ ( y e. A /\ z e. B ) ) -> ph ) <-> A. y A. z ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
16	5, 15	bitri 249	. 2 |- ( A. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) <-> A. y A. z ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
17		df-ral 2759	. 2 |- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. x ( x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) -> ph ) )
18		r2al 2782	. 2 |- ( A. y e. A A. z e. B ps <-> A. y A. z ( ( y e. A /\ z e. B ) -> ps ) )
19	16, 17, 18	3bitr4i 277	1 |- ( A. x e. U_ y e. A ( { y } X. B ) ph <-> A. y e. A A. z e. B ps )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   A.wal 1403   = wceq 1405   E.wex 1633   e. wcel 1842   A.wral 2754   {csn 3972   <.cop 3978   U_ciun 4271   X. cxp 4821

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pr 4630

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-iun 4273  df-opab 4454  df-xp 4829  df-rel 4830

This theorem is referenced by:  rexiunxp  4964  ralxp  4965  fmpt2x  6850  ovmptss  6865  filnetlem4  30609