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Theorem raliunxp 4979
Description: Write a double restricted quantification as one universal quantifier. In this version of ralxp 4981, 
B ( y ) is not assumed to be constant. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
ralxp.1  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  ps )
)
Assertion
Ref Expression
raliunxp  |-  ( A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )
ph 
<-> 
A. y  e.  A  A. z  e.  B  ps )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, z    ph, y, z    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y, z)    B( y)

Proof of Theorem raliunxp
StepHypRef Expression
1 eliunxp 4977 . . . . . 6  |-  ( x  e.  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  B )  <->  E. y E. z ( x  =  <. y ,  z >.  /\  (
y  e.  A  /\  z  e.  B )
) )
21imbi1i 332 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  B
)  ->  ph )  <->  ( E. y E. z ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  ->  ph ) )
3 19.23vv 1827 . . . . 5  |-  ( A. y A. z ( ( x  =  <. y ,  z >.  /\  (
y  e.  A  /\  z  e.  B )
)  ->  ph )  <->  ( E. y E. z ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  ->  ph ) )
42, 3bitr4i 260 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U_ y  e.  A  ( {
y }  X.  B
)  ->  ph )  <->  A. y A. z ( ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  ->  ph ) )
54albii 1699 . . 3  |-  ( A. x ( x  e. 
U_ y  e.  A  ( { y }  X.  B )  ->  ph )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  ->  ph ) )
6 alrot3 1941 . . . 4  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x  = 
<. y ,  z >.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  ph )  <->  A. y A. z A. x ( ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  ->  ph ) )
7 impexp 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  =  <. y ,  z >.  /\  (
y  e.  A  /\  z  e.  B )
)  ->  ph )  <->  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ph )
) )
87albii 1699 . . . . . 6  |-  ( A. x ( ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  ->  ph )  <->  A. x ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ph )
) )
9 opex 4664 . . . . . . 7  |-  <. y ,  z >.  e.  _V
10 ralxp.1 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ph  <->  ps )
)
1110imbi2d 323 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. y ,  z
>.  ->  ( ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ph )  <->  ( (
y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ps ) ) )
129, 11ceqsalv 3061 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  = 
<. y ,  z >.  ->  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ph )
)  <->  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ps ) )
138, 12bitri 257 . . . . 5  |-  ( A. x ( ( x  =  <. y ,  z
>.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B ) )  ->  ph )  <->  ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B )  ->  ps ) )
14132albii 1700 . . . 4  |-  ( A. y A. z A. x
( ( x  = 
<. y ,  z >.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  ph )  <->  A. y A. z ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  ->  ps )
)
156, 14bitri 257 . . 3  |-  ( A. x A. y A. z
( ( x  = 
<. y ,  z >.  /\  ( y  e.  A  /\  z  e.  B
) )  ->  ph )  <->  A. y A. z ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  ->  ps )
)
165, 15bitri 257 . 2  |-  ( A. x ( x  e. 
U_ y  e.  A  ( { y }  X.  B )  ->  ph )  <->  A. y A. z ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  ->  ps )
)
17 df-ral 2761 . 2  |-  ( A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )
ph 
<-> 
A. x ( x  e.  U_ y  e.  A  ( { y }  X.  B )  ->  ph ) )
18 r2al 2783 . 2  |-  ( A. y  e.  A  A. z  e.  B  ps  <->  A. y A. z ( ( y  e.  A  /\  z  e.  B
)  ->  ps )
)
1916, 17, 183bitr4i 285 1  |-  ( A. x  e.  U_  y  e.  A  ( { y }  X.  B )
ph 
<-> 
A. y  e.  A  A. z  e.  B  ps )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376   A.wal 1450    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   A.wral 2756   {csn 3959   <.cop 3965   U_ciun 4269    X. cxp 4837
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pr 4639
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-iun 4271  df-opab 4455  df-xp 4845  df-rel 4846
This theorem is referenced by:  rexiunxp  4980  ralxp  4981  fmpt2x  6878  ovmptss  6896  filnetlem4  31108
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