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Theorem ralidm 3876
Description: Idempotent law for restricted quantifier. (Contributed by NM, 28-Mar-1997.)
Assertion
Ref Expression
ralidm  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem ralidm
StepHypRef Expression
1 rzal 3874 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph )
2 rzal 3874 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  ph )
31, 22thd 240 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph ) )
4 neq0 3748 . . 3  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
5 biimt 333 . . . 4  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ph  <->  ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
6 df-ral 2758 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
7 nfra1 2784 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  e.  A  ph
8719.23 1938 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph )  <->  ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
96, 8bitri 249 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
105, 9syl6rbbr 264 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph ) )
114, 10sylbi 195 . 2  |-  ( -.  A  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph ) )
123, 11pm2.61i 164 1  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184   A.wal 1403    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   A.wral 2753   (/)c0 3737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-v 3060  df-dif 3416  df-nul 3738
This theorem is referenced by:  issref  5322  cnvpo  5483  dfwe2  6555
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