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Theorem ralidm 3894
Description: Idempotent law for restricted quantifier. (Contributed by NM, 28-Mar-1997.)
Assertion
Ref Expression
ralidm  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem ralidm
StepHypRef Expression
1 rzal 3892 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph )
2 rzal 3892 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  A. x  e.  A  ph )
31, 22thd 240 . 2  |-  ( A  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph ) )
4 neq0 3758 . . 3  |-  ( -.  A  =  (/)  <->  E. x  x  e.  A )
5 biimt 335 . . . 4  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  ph  <->  ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
6 df-ral 2804 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
7 nfra1 2810 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  e.  A  ph
8719.23 1848 . . . . 5  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph )  <->  ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
96, 8bitri 249 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  ( E. x  x  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
105, 9syl6rbbr 264 . . 3  |-  ( E. x  x  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph ) )
114, 10sylbi 195 . 2  |-  ( -.  A  =  (/)  ->  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph ) )
123, 11pm2.61i 164 1  |-  ( A. x  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184   A.wal 1368    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   A.wral 2799   (/)c0 3748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-v 3080  df-dif 3442  df-nul 3749
This theorem is referenced by:  issref  5322  cnvpo  5486  dfwe2  6506
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