MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ralcom4 Structured version   Unicode version

Theorem ralcom4 3132
Description: Commutation of restricted and unrestricted universal quantifiers. (Contributed by NM, 26-Mar-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 8-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
ralcom4  |-  ( A. x  e.  A  A. y ph  <->  A. y A. x  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    x, y    y, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x)

Proof of Theorem ralcom4
StepHypRef Expression
1 ralcom 3022 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  _V  ph  <->  A. y  e.  _V  A. x  e.  A  ph )
2 ralv 3127 . . 3  |-  ( A. y  e.  _V  ph  <->  A. y ph )
32ralbii 2895 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  _V  ph  <->  A. x  e.  A  A. y ph )
4 ralv 3127 . 2  |-  ( A. y  e.  _V  A. x  e.  A  ph  <->  A. y A. x  e.  A  ph )
51, 3, 43bitr3i 275 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y ph  <->  A. y A. x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184   A.wal 1377   A.wral 2814   _Vcvv 3113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ral 2819  df-v 3115
This theorem is referenced by:  ralxpxfr2d  3228  uniiunlem  3588  iunss  4366  disjor  4431  trint  4555  reliun  5121  funimass4  5916  ralrnmpt2  6399  findcard3  7759  kmlem12  8537  fimaxre3  10488  vdwmc2  14352  ramtlecl  14373  iunocv  18479  1stccn  19730  itg2leub  21876  mptelee  23874  nmoubi  25363  nmopub  26503  nmfnleub  26520  moel  27058  disjorf  27113  funcnv5mpt  27183  untuni  28556  heibor1lem  29908  pmapglbx  34565
  Copyright terms: Public domain W3C validator