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Theorem ralcom2 2890
Description: Commutation of restricted quantifiers. Note that  x and  y needn't be distinct (this makes the proof longer). (Contributed by NM, 24-Nov-1994.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Oct-2016.)
Assertion
Ref Expression
ralcom2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    y, A    x, A
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem ralcom2
StepHypRef Expression
1 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
21sps 1800 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
32imbi1d 317 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( ( x  e.  A  ->  ph )  <->  ( y  e.  A  ->  ph )
) )
43dral1 2017 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x ( x  e.  A  ->  ph )  <->  A. y ( y  e.  A  ->  ph )
) )
54bicomd 201 . . . . . . 7  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. y ( y  e.  A  ->  ph )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  ph )
) )
6 df-ral 2725 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  A  ph  <->  A. y
( y  e.  A  ->  ph ) )
7 df-ral 2725 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  A  ph  <->  A. x
( x  e.  A  ->  ph ) )
85, 6, 73bitr4g 288 . . . . . 6  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. y  e.  A  ph  <->  A. x  e.  A  ph ) )
92, 8imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ph )  <->  ( y  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
109dral1 2017 . . . 4  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x ( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ph )  <->  A. y ( y  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) ) )
11 df-ral 2725 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  <->  A. x
( x  e.  A  ->  A. y  e.  A  ph ) )
12 df-ral 2725 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  A. x  e.  A  ph  <->  A. y
( y  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
1310, 11, 123bitr4g 288 . . 3  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  <->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ph ) )
1413biimpd 207 . 2  |-  ( A. x  x  =  y  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ph ) )
15 nfnae 2005 . . . . 5  |-  F/ y  -.  A. x  x  =  y
16 nfra2 2775 . . . . 5  |-  F/ y A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph
1715, 16nfan 1861 . . . 4  |-  F/ y ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph )
18 nfnae 2005 . . . . . . . 8  |-  F/ x  -.  A. x  x  =  y
19 nfra1 2771 . . . . . . . 8  |-  F/ x A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph
2018, 19nfan 1861 . . . . . . 7  |-  F/ x
( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph )
21 nfcvf 2606 . . . . . . . . 9  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  F/_ x y )
2221adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph )  -> 
F/_ x y )
23 nfcvd 2585 . . . . . . . 8  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph )  -> 
F/_ x A )
2422, 23nfeld 2599 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph )  ->  F/ x  y  e.  A )
2520, 24nfan1 1860 . . . . . 6  |-  F/ x
( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph )  /\  y  e.  A )
26 rsp2 2783 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  A
)  ->  ph ) )
2726ancomsd 454 . . . . . . . 8  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  ->  ( ( y  e.  A  /\  x  e.  A
)  ->  ph ) )
2827expdimp 437 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph 
/\  y  e.  A
)  ->  ( x  e.  A  ->  ph )
)
2928adantll 713 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph )  /\  y  e.  A
)  ->  ( x  e.  A  ->  ph )
)
3025, 29ralrimi 2802 . . . . 5  |-  ( ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph )  /\  y  e.  A
)  ->  A. x  e.  A  ph )
3130ex 434 . . . 4  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph )  ->  ( y  e.  A  ->  A. x  e.  A  ph ) )
3217, 31ralrimi 2802 . . 3  |-  ( ( -.  A. x  x  =  y  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph )  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ph )
3332ex 434 . 2  |-  ( -. 
A. x  x  =  y  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ph )
)
3414, 33pm2.61i 164 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  A  ph  ->  A. y  e.  A  A. x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    e. wcel 1756   F/_wnfc 2571   A.wral 2720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ral 2725
This theorem is referenced by:  tz7.48lem  6901  tratrb  31247  tratrbVD  31602
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