Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ragperp Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ragperp 24841
 Description: Deduce that two lines are perpendicular from a right angle statement. One direction of theorem 8.13 of [Schwabhauser] p. 59. (Contributed by Thierry Arnoux, 20-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
isperp.p
isperp.d
isperp.i Itv
isperp.l LineG
isperp.g TarskiG
isperp.a
ragperp.b
ragperp.x
ragperp.u
ragperp.v
ragperp.1
ragperp.2
ragperp.r ∟G
Assertion
Ref Expression
ragperp ⟂G

Proof of Theorem ragperp
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isperp.p . . . 4
2 isperp.d . . . 4
3 isperp.i . . . 4 Itv
4 isperp.l . . . 4 LineG
5 eqid 2471 . . . 4 pInvG pInvG
6 isperp.g . . . . 5 TarskiG
76adantr 472 . . . 4 TarskiG
8 ragperp.b . . . . . 6
98adantr 472 . . . . 5
10 simprr 774 . . . . 5
111, 4, 3, 7, 9, 10tglnpt 24673 . . . 4
12 isperp.a . . . . . 6
1312adantr 472 . . . . 5
14 inss1 3643 . . . . . . 7
15 ragperp.x . . . . . . 7
1614, 15sseldi 3416 . . . . . 6
1716adantr 472 . . . . 5
181, 4, 3, 7, 13, 17tglnpt 24673 . . . 4
19 simprl 772 . . . . 5
201, 4, 3, 7, 13, 19tglnpt 24673 . . . 4
21 ragperp.v . . . . . . 7
2221adantr 472 . . . . . 6
231, 4, 3, 7, 9, 22tglnpt 24673 . . . . 5
24 ragperp.u . . . . . . . . 9
2524adantr 472 . . . . . . . 8
261, 4, 3, 7, 13, 25tglnpt 24673 . . . . . . 7
27 ragperp.r . . . . . . . 8 ∟G
2827adantr 472 . . . . . . 7 ∟G
29 ragperp.1 . . . . . . . 8
3029adantr 472 . . . . . . 7
3124ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
326ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12 TarskiG
3318adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
3420adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
35 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
3635neqned 2650 . . . . . . . . . . . 12
3712ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
3816ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
3919adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
401, 3, 4, 32, 33, 34, 36, 36, 37, 38, 39tglinethru 24760 . . . . . . . . . . 11
4131, 40eleqtrd 2551 . . . . . . . . . 10
4241ex 441 . . . . . . . . 9
4342orrd 385 . . . . . . . 8
4443orcomd 395 . . . . . . 7
451, 2, 3, 4, 5, 7, 26, 18, 23, 20, 28, 30, 44ragcol 24823 . . . . . 6 ∟G
461, 2, 3, 4, 5, 7, 20, 18, 23, 45ragcom 24822 . . . . 5 ∟G
47 ragperp.2 . . . . . 6
4847adantr 472 . . . . 5
4921ad2antrr 740 . . . . . . . . 9
506ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10 TarskiG
5118adantr 472 . . . . . . . . . 10
5211adantr 472 . . . . . . . . . 10
53 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
5453neqned 2650 . . . . . . . . . 10
558ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
56 inss2 3644 . . . . . . . . . . . 12
5756, 15sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11
5857ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
5910adantr 472 . . . . . . . . . 10
601, 3, 4, 50, 51, 52, 54, 54, 55, 58, 59tglinethru 24760 . . . . . . . . 9
6149, 60eleqtrd 2551 . . . . . . . 8
6261ex 441 . . . . . . 7
6362orrd 385 . . . . . 6
6463orcomd 395 . . . . 5
651, 2, 3, 4, 5, 7, 23, 18, 20, 11, 46, 48, 64ragcol 24823 . . . 4 ∟G
661, 2, 3, 4, 5, 7, 11, 18, 20, 65ragcom 24822 . . 3 ∟G
6766ralrimivva 2814 . 2 ∟G
681, 2, 3, 4, 6, 12, 8, 15isperp2 24839 . 2 ⟂G ∟G
6967, 68mpbird 240 1 ⟂G
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756   cin 3389   class class class wbr 4395   crn 4840  cfv 5589  (class class class)co 6308  cs3 12997  cbs 15199  cds 15277  TarskiGcstrkg 24557  Itvcitv 24563  LineGclng 24564  pInvGcmir 24776  ∟Gcrag 24817  ⟂Gcperpg 24819 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-hash 12554  df-word 12711  df-concat 12713  df-s1 12714  df-s2 13003  df-s3 13004  df-trkgc 24575  df-trkgb 24576  df-trkgcb 24577  df-trkg 24580  df-cgrg 24635  df-mir 24777  df-rag 24818  df-perpg 24820 This theorem is referenced by:  footex  24842  colperpexlem3  24853  mideulem2  24855  lmimid  24915  hypcgrlem1  24920  hypcgrlem2  24921  trgcopyeulem  24926
 Copyright terms: Public domain W3C validator