MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ragflat3 Structured version   Unicode version

Theorem ragflat3 23952
Description: Right angle and colinearity. Theorem 8.9 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
israg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
israg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
israg.l  |-  L  =  (LineG `  G )
israg.s  |-  S  =  (pInvG `  G )
israg.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
israg.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
israg.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
israg.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
ragflat3.1  |-  ( ph  ->  <" A B C ">  e.  (∟G `  G ) )
ragflat3.2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A L B )  \/  A  =  B ) )
Assertion
Ref Expression
ragflat3  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  \/  C  =  B ) )

Proof of Theorem ragflat3
StepHypRef Expression
1 israg.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 israg.d . . . 4  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 israg.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
4 israg.l . . . 4  |-  L  =  (LineG `  G )
5 israg.s . . . 4  |-  S  =  (pInvG `  G )
6 israg.g . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  B )  ->  G  e. TarskiG )
8 israg.c . . . . 5  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  B )  ->  C  e.  P )
10 israg.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
1110adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  B )  ->  B  e.  P )
12 israg.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
1312adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  B )  ->  A  e.  P )
14 ragflat3.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  <" A B C ">  e.  (∟G `  G ) )
1514adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  B )  ->  <" A B C ">  e.  (∟G `  G ) )
16 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  B )  ->  -.  A  =  B )
1716neqned 2644 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  B )  ->  A  =/=  B )
18 ragflat3.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  e.  ( A L B )  \/  A  =  B ) )
1918adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  B )  ->  ( C  e.  ( A L B )  \/  A  =  B ) )
201, 4, 3, 7, 13, 11, 9, 19colrot1 23815 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  B )  ->  ( A  e.  ( B L C )  \/  B  =  C ) )
211, 2, 3, 4, 5, 7, 13, 11, 9, 9, 15, 17, 20ragcol 23945 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  B )  ->  <" C B C ">  e.  (∟G `  G ) )
221, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11, 13, 21ragtriva 23951 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  A  =  B )  ->  C  =  B )
2322ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  A  =  B  ->  C  =  B ) )
2423orrd 378 1  |-  ( ph  ->  ( A  =  B  \/  C  =  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   ` cfv 5575  (class class class)co 6278   <"cs3 12783   Basecbs 14506   distcds 14580  TarskiGcstrkg 23694  Itvcitv 23701  LineGclng 23702  pInvGcmir 23902  ∟Gcrag 23939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4545  ax-sep 4555  ax-nul 4563  ax-pow 4612  ax-pr 4673  ax-un 6574  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3419  df-dif 3462  df-un 3464  df-in 3466  df-ss 3473  df-pss 3475  df-nul 3769  df-if 3924  df-pw 3996  df-sn 4012  df-pr 4014  df-tp 4016  df-op 4018  df-uni 4232  df-int 4269  df-iun 4314  df-br 4435  df-opab 4493  df-mpt 4494  df-tr 4528  df-eprel 4778  df-id 4782  df-po 4787  df-so 4788  df-fr 4825  df-we 4827  df-ord 4868  df-on 4869  df-lim 4870  df-suc 4871  df-xp 4992  df-rel 4993  df-cnv 4994  df-co 4995  df-dm 4996  df-rn 4997  df-res 4998  df-ima 4999  df-iota 5538  df-fun 5577  df-fn 5578  df-f 5579  df-f1 5580  df-fo 5581  df-f1o 5582  df-fv 5583  df-riota 6239  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6683  df-1st 6782  df-2nd 6783  df-recs 7041  df-rdg 7075  df-1o 7129  df-oadd 7133  df-er 7310  df-map 7421  df-pm 7422  df-en 7516  df-dom 7517  df-sdom 7518  df-fin 7519  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9809  df-neg 9810  df-nn 10540  df-2 10597  df-3 10598  df-n0 10799  df-z 10868  df-uz 11088  df-fz 11679  df-fzo 11801  df-hash 12382  df-word 12518  df-concat 12520  df-s1 12521  df-s2 12789  df-s3 12790  df-trkgc 23713  df-trkgb 23714  df-trkgcb 23715  df-trkg 23719  df-cgrg 23772  df-mir 23903  df-rag 23940
This theorem is referenced by:  ragncol  23955  mideulem2  23977  opphllem  23978
  Copyright terms: Public domain W3C validator