Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ragflat Structured version   Unicode version

Theorem ragflat 23782
 Description: Deduce equality from two right angles. Theorem 8.7 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p
israg.d
israg.i Itv
israg.l LineG
israg.s pInvG
israg.g TarskiG
israg.a
israg.b
israg.c
ragflat.1 ∟G
ragflat.2 ∟G
Assertion
Ref Expression
ragflat

Proof of Theorem ragflat
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . 2
2 israg.p . . 3
3 israg.d . . 3
4 israg.i . . 3 Itv
5 israg.l . . 3 LineG
6 israg.s . . 3 pInvG
7 israg.g . . . 4 TarskiG
87adantr 465 . . 3 TarskiG
9 israg.a . . . 4
11 israg.b . . . 4
13 israg.c . . . 4
15 eqid 2460 . . . 4
162, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10mircl 23748 . . 3
17 ragflat.1 . . . 4 ∟G
1817adantr 465 . . 3 ∟G
192, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10mircgr 23744 . . . . . 6
202, 3, 4, 8, 14, 16, 14, 10, 19tgcgrcomlr 23592 . . . . 5
212, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14israg 23775 . . . . . 6 ∟G
2218, 21mpbid 210 . . . . 5
23 eqid 2460 . . . . . . 7
242, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 23, 14mircl 23748 . . . . . 6
25 ragflat.2 . . . . . . . . . 10 ∟G
2625adantr 465 . . . . . . . . 9 ∟G
272, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 14, 12, 26ragcom 23776 . . . . . . . 8 ∟G
28 simpr 461 . . . . . . . 8
292, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 23, 14mirbtwn 23745 . . . . . . . . . 10
302, 3, 4, 8, 24, 12, 14, 29tgbtwncom 23600 . . . . . . . . 9
312, 5, 4, 8, 14, 24, 12, 30btwncolg1 23663 . . . . . . . 8
322, 3, 4, 5, 6, 8, 12, 14, 10, 24, 27, 28, 31ragcol 23777 . . . . . . 7 ∟G
332, 3, 4, 5, 6, 8, 24, 14, 10israg 23775 . . . . . . 7 ∟G
3432, 33mpbid 210 . . . . . 6
352, 3, 4, 8, 24, 10, 24, 16, 34tgcgrcomlr 23592 . . . . 5
3620, 22, 353eqtrd 2505 . . . 4
372, 3, 4, 5, 6, 8, 16, 12, 14israg 23775 . . . 4 ∟G
3836, 37mpbird 232 . . 3 ∟G
392, 3, 4, 5, 6, 8, 14, 15, 10mirbtwn 23745 . . . 4
402, 3, 4, 8, 16, 14, 10, 39tgbtwncom 23600 . . 3
412, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 38, 40ragflat2 23781 . 2
421, 41pm2.61dane 2778 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1374   wcel 1762   wne 2655  cfv 5579  (class class class)co 6275  cs3 12757  cbs 14479  cds 14553  TarskiGcstrkg 23546  Itvcitv 23553  LineGclng 23554  pInvGcmir 23739  ∟Gcrag 23771 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-hash 12361  df-word 12495  df-concat 12497  df-s1 12498  df-s2 12763  df-s3 12764  df-trkgc 23565  df-trkgb 23566  df-trkgcb 23567  df-trkg 23571  df-cgrg 23624  df-mir 23740  df-rag 23772 This theorem is referenced by:  ragtriva  23783  footex  23796  foot  23797
 Copyright terms: Public domain W3C validator