MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ragcom Structured version   Unicode version

Theorem ragcom 24461
Description: Commutative rule for right angles. Theorem 8.2 of [Schwabhauser] p. 57. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
israg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
israg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
israg.l  |-  L  =  (LineG `  G )
israg.s  |-  S  =  (pInvG `  G )
israg.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
israg.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
israg.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
israg.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
ragcom.1  |-  ( ph  ->  <" A B C ">  e.  (∟G `  G ) )
Assertion
Ref Expression
ragcom  |-  ( ph  ->  <" C B A ">  e.  (∟G `  G ) )

Proof of Theorem ragcom
StepHypRef Expression
1 israg.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 israg.d . . . 4  |-  .-  =  ( dist `  G )
3 israg.i . . . 4  |-  I  =  (Itv `  G )
4 israg.g . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
5 israg.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
6 israg.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
7 israg.l . . . . 5  |-  L  =  (LineG `  G )
8 israg.s . . . . 5  |-  S  =  (pInvG `  G )
9 israg.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
10 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( S `
 B )  =  ( S `  B
)
111, 2, 3, 7, 8, 4, 9, 10, 6mircl 24427 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S `  B ) `  C
)  e.  P )
12 ragcom.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <" A B C ">  e.  (∟G `  G ) )
131, 2, 3, 7, 8, 4, 5, 9, 6israg 24460 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( <" A B C ">  e.  (∟G `  G )  <->  ( A  .-  C )  =  ( A  .-  ( ( S `  B ) `
 C ) ) ) )
1412, 13mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  .-  C
)  =  ( A 
.-  ( ( S `
 B ) `  C ) ) )
151, 2, 3, 4, 5, 6, 5, 11, 14tgcgrcomlr 24252 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  =  ( ( ( S `  B
) `  C )  .-  A ) )
161, 2, 3, 7, 8, 4, 9, 10, 11, 5miriso 24435 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 B ) `  ( ( S `  B ) `  C
) )  .-  (
( S `  B
) `  A )
)  =  ( ( ( S `  B
) `  C )  .-  A ) )
171, 2, 3, 7, 8, 4, 9, 10, 6mirmir 24428 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S `  B ) `  (
( S `  B
) `  C )
)  =  C )
1817oveq1d 6293 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S `
 B ) `  ( ( S `  B ) `  C
) )  .-  (
( S `  B
) `  A )
)  =  ( C 
.-  ( ( S `
 B ) `  A ) ) )
1915, 16, 183eqtr2d 2449 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  .-  A
)  =  ( C 
.-  ( ( S `
 B ) `  A ) ) )
201, 2, 3, 7, 8, 4, 6, 9, 5israg 24460 . 2  |-  ( ph  ->  ( <" C B A ">  e.  (∟G `  G )  <->  ( C  .-  A )  =  ( C  .-  ( ( S `  B ) `
 A ) ) ) )
2119, 20mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  <" C B A ">  e.  (∟G `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   <"cs3 12863   Basecbs 14841   distcds 14918  TarskiGcstrkg 24206  Itvcitv 24212  LineGclng 24213  pInvGcmir 24418  ∟Gcrag 24456
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-hash 12453  df-word 12591  df-concat 12593  df-s1 12594  df-s2 12869  df-s3 12870  df-trkgc 24224  df-trkgb 24225  df-trkgcb 24226  df-trkg 24229  df-mir 24419  df-rag 24457
This theorem is referenced by:  ragflat  24467  ragtriva  24468  perpcom  24476  ragperp  24480  footex  24481  perpdragALT  24487  colperpexlem3  24492  mideulem2  24494  hypcgrlem1  24555  trgcopy  24560
  Copyright terms: Public domain W3C validator