MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ragcol Structured version   Unicode version

Theorem ragcol 23881
Description: The right angle property is independent of the choice of point on one side. Theorem 8.3 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
israg.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
israg.i  |-  I  =  (Itv `  G )
israg.l  |-  L  =  (LineG `  G )
israg.s  |-  S  =  (pInvG `  G )
israg.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
israg.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
israg.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
israg.c  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
ragcol.d  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
ragcol.1  |-  ( ph  ->  <" A B C ">  e.  (∟G `  G ) )
ragcol.2  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
ragcol.3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( B L D )  \/  B  =  D ) )
Assertion
Ref Expression
ragcol  |-  ( ph  ->  <" D B C ">  e.  (∟G `  G ) )

Proof of Theorem ragcol
StepHypRef Expression
1 israg.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  G
)
2 israg.l . . 3  |-  L  =  (LineG `  G )
3 israg.i . . 3  |-  I  =  (Itv `  G )
4 israg.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
5 israg.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
6 israg.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
7 ragcol.d . . 3  |-  ( ph  ->  D  e.  P )
8 eqid 2467 . . 3  |-  (cgrG `  G )  =  (cgrG `  G )
9 israg.c . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  P )
10 israg.d . . . 4  |-  .-  =  ( dist `  G )
11 israg.s . . . 4  |-  S  =  (pInvG `  G )
12 eqid 2467 . . . 4  |-  ( S `
 B )  =  ( S `  B
)
131, 10, 3, 2, 11, 4, 5, 12, 9mircl 23852 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S `  B ) `  C
)  e.  P )
14 ragcol.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
1514necomd 2738 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
16 ragcol.3 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( B L D )  \/  B  =  D ) )
171, 10, 3, 2, 11, 4, 5, 12, 9mircgr 23848 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  .-  (
( S `  B
) `  C )
)  =  ( B 
.-  C ) )
1817eqcomd 2475 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  .-  C
)  =  ( B 
.-  ( ( S `
 B ) `  C ) ) )
19 ragcol.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  <" A B C ">  e.  (∟G `  G ) )
201, 10, 3, 2, 11, 4, 6, 5, 9israg 23879 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( <" A B C ">  e.  (∟G `  G )  <->  ( A  .-  C )  =  ( A  .-  ( ( S `  B ) `
 C ) ) ) )
2119, 20mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  .-  C
)  =  ( A 
.-  ( ( S `
 B ) `  C ) ) )
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 10, 15, 16, 18, 21lncgr 23780 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  .-  C
)  =  ( D 
.-  ( ( S `
 B ) `  C ) ) )
231, 10, 3, 2, 11, 4, 7, 5, 9israg 23879 . 2  |-  ( ph  ->  ( <" D B C ">  e.  (∟G `  G )  <->  ( D  .-  C )  =  ( D  .-  ( ( S `  B ) `
 C ) ) ) )
2422, 23mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  <" D B C ">  e.  (∟G `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   <"cs3 12773   Basecbs 14493   distcds 14567  TarskiGcstrkg 23650  Itvcitv 23657  LineGclng 23658  cgrGccgrg 23727  pInvGcmir 23843  ∟Gcrag 23875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-hash 12375  df-word 12509  df-concat 12511  df-s1 12512  df-s2 12779  df-s3 12780  df-trkgc 23669  df-trkgb 23670  df-trkgcb 23671  df-trkg 23675  df-cgrg 23728  df-mir 23844  df-rag 23876
This theorem is referenced by:  ragflat  23886  ragflat3  23888  ragperp  23899  footex  23900  colperpexlem1  23906  mideulem  23910
  Copyright terms: Public domain W3C validator