Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ragcgr Structured version   Unicode version

Theorem ragcgr 23907
 Description: Right angle and colinearity. Theorem 8.10 of [Schwabhauser] p. 58. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
israg.p
israg.d
israg.i Itv
israg.l LineG
israg.s pInvG
israg.g TarskiG
israg.a
israg.b
israg.c
ragcgr.c cgrG
ragcgr.d
ragcgr.e
ragcgr.f
ragcgr.1 ∟G
ragcgr.2
Assertion
Ref Expression
ragcgr ∟G

Proof of Theorem ragcgr
StepHypRef Expression
1 eqidd 2468 . . . 4
2 israg.p . . . . 5
3 israg.d . . . . 5
4 israg.i . . . . 5 Itv
5 israg.g . . . . . 6 TarskiG
65adantr 465 . . . . 5 TarskiG
7 israg.b . . . . . 6
87adantr 465 . . . . 5
9 israg.c . . . . . 6
109adantr 465 . . . . 5
11 ragcgr.e . . . . . 6
1211adantr 465 . . . . 5
13 ragcgr.f . . . . . 6
1413adantr 465 . . . . 5
15 ragcgr.c . . . . . 6 cgrG
16 israg.a . . . . . . 7
1716adantr 465 . . . . . 6
18 ragcgr.d . . . . . . 7
1918adantr 465 . . . . . 6
20 ragcgr.2 . . . . . . 7
2120adantr 465 . . . . . 6
222, 3, 4, 15, 6, 17, 8, 10, 19, 12, 14, 21cgr3simp2 23755 . . . . 5
23 simpr 461 . . . . 5
242, 3, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 22, 23tgcgreq 23716 . . . 4
25 eqidd 2468 . . . 4
261, 24, 25s3eqd 12803 . . 3
27 israg.l . . . 4 LineG
28 israg.s . . . 4 pInvG
292, 3, 4, 27, 28, 6, 19, 14, 12ragtrivb 23902 . . 3 ∟G
3026, 29eqeltrd 2555 . 2 ∟G
31 ragcgr.1 . . . . . 6 ∟G
3231adantr 465 . . . . 5 ∟G
335adantr 465 . . . . . 6 TarskiG
3416adantr 465 . . . . . 6
357adantr 465 . . . . . 6
369adantr 465 . . . . . 6
372, 3, 4, 27, 28, 33, 34, 35, 36israg 23897 . . . . 5 ∟G
3832, 37mpbid 210 . . . 4
3913adantr 465 . . . . 5
4018adantr 465 . . . . 5
4111adantr 465 . . . . . 6
4220adantr 465 . . . . . 6
432, 3, 4, 15, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 39, 42cgr3simp3 23756 . . . . 5
442, 3, 4, 33, 36, 34, 39, 40, 43tgcgrcomlr 23714 . . . 4
45 eqid 2467 . . . . . 6
462, 3, 4, 27, 28, 33, 35, 45, 36mircl 23870 . . . . 5
47 eqid 2467 . . . . . 6
482, 3, 4, 27, 28, 33, 41, 47, 39mircl 23870 . . . . 5
49 simpr 461 . . . . . . 7
5049necomd 2738 . . . . . 6
512, 3, 4, 27, 28, 33, 35, 45, 36mirbtwn 23867 . . . . . . 7
522, 3, 4, 33, 46, 35, 36, 51tgbtwncom 23722 . . . . . 6
532, 3, 4, 27, 28, 33, 41, 47, 39mirbtwn 23867 . . . . . . 7
542, 3, 4, 33, 48, 41, 39, 53tgbtwncom 23722 . . . . . 6
552, 3, 4, 15, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 39, 42cgr3simp2 23755 . . . . . . 7
562, 3, 4, 33, 35, 36, 41, 39, 55tgcgrcomlr 23714 . . . . . 6
572, 3, 4, 27, 28, 33, 35, 45, 36mircgr 23866 . . . . . . 7
582, 3, 4, 27, 28, 33, 41, 47, 39mircgr 23866 . . . . . . 7
5955, 57, 583eqtr4d 2518 . . . . . 6
602, 3, 4, 15, 33, 34, 35, 36, 40, 41, 39, 42cgr3simp1 23754 . . . . . . 7
612, 3, 4, 33, 34, 35, 40, 41, 60tgcgrcomlr 23714 . . . . . 6
622, 3, 4, 33, 36, 35, 46, 39, 41, 48, 34, 40, 50, 52, 54, 56, 59, 43, 61axtg5seg 23705 . . . . 5
632, 3, 4, 33, 46, 34, 48, 40, 62tgcgrcomlr 23714 . . . 4
6438, 44, 633eqtr3d 2516 . . 3
652, 3, 4, 27, 28, 33, 40, 41, 39israg 23897 . . 3 ∟G
6664, 65mpbird 232 . 2 ∟G
6730, 66pm2.61dane 2785 1 ∟G
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662   class class class wbr 4452  cfv 5593  (class class class)co 6294  cs3 12782  cbs 14502  cds 14576  TarskiGcstrkg 23668  Itvcitv 23675  LineGclng 23676  cgrGccgrg 23745  pInvGcmir 23861  ∟Gcrag 23893 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-map 7432  df-pm 7433  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-card 8330  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-n0 10806  df-z 10875  df-uz 11093  df-fz 11683  df-fzo 11803  df-hash 12384  df-word 12518  df-concat 12520  df-s1 12521  df-s2 12788  df-s3 12789  df-trkgc 23687  df-trkgb 23688  df-trkgcb 23689  df-trkg 23693  df-cgrg 23746  df-mir 23862  df-rag 23894 This theorem is referenced by:  motrag  23908  footex  23918
 Copyright terms: Public domain W3C validator