MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlt2 Structured version   Unicode version

Theorem radcnvlt2 22939
Description: If  X is within the open disk of radius  R centered at zero, then the infinite series converges at  X. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
radcnv.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
radcnv.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
radcnvlt.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
radcnvlt.a  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  R )
Assertion
Ref Expression
radcnvlt2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( G `  X ) )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    x, n, A    G, r
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    A( r)    R( x, n, r)    G( x, n)    X( x, n, r)

Proof of Theorem radcnvlt2
Dummy variables  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11140 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0zd 10897 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
3 pser.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
4 radcnv.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
5 radcnvlt.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
63, 4, 5psergf 22932 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  X
) : NN0 --> CC )
7 fvco3 5950 . . 3  |-  ( ( ( G `  X
) : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( abs  o.  ( G `  X ) ) `  k )  =  ( abs `  (
( G `  X
) `  k )
) )
86, 7sylan 471 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( abs  o.  ( G `  X ) ) `  k )  =  ( abs `  ( ( G `  X ) `
 k ) ) )
96ffvelrnda 6032 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  X ) `  k )  e.  CC )
10 radcnv.r . . . 4  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
11 radcnvlt.a . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  R )
12 id 22 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  m  =  k )
13 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  (
( G `  X
) `  m )  =  ( ( G `
 X ) `  k ) )
1413fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) )  =  ( abs `  (
( G `  X
) `  k )
) )
1512, 14oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
m  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) ) )  =  ( k  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  k ) ) ) )
1615cbvmptv 4548 . . . 4  |-  ( m  e.  NN0  |->  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) ) )  =  ( k  e.  NN0  |->  ( k  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  k ) ) ) )
173, 4, 10, 5, 11, 16radcnvlt1 22938 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq 0 (  +  ,  ( m  e.  NN0  |->  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) ) ) )  e.  dom  ~~>  /\  seq 0 (  +  , 
( abs  o.  ( G `  X )
) )  e.  dom  ~~>  ) )
1817simprd 463 . 2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( abs  o.  ( G `  X ) ) )  e.  dom  ~~>  )
191, 2, 8, 9, 18abscvgcvg 13644 1  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( G `  X ) )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008    o. ccom 5012   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509    + caddc 9512    x. cmul 9514   RR*cxr 9644    < clt 9645   NN0cn0 10816    seqcseq 12109   ^cexp 12168   abscabs 13078    ~~> cli 13318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-limsup 13305  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520
This theorem is referenced by:  pserulm  22942  pserdvlem2  22948  abelthlem3  22953  binomcxplemcvg  31421
  Copyright terms: Public domain W3C validator