MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlem3 Structured version   Unicode version

Theorem radcnvlem3 21879
Description: Lemma for radcnvlt1 21882, radcnvle 21884. If  X is a point closer to zero than  Y and the power series converges at 
Y, then it converges at  X. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
radcnv.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
psergf.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
radcnvlem2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
radcnvlem2.a  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  ( abs `  Y ) )
radcnvlem2.c  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( G `  Y ) )  e. 
dom 
~~>  )
Assertion
Ref Expression
radcnvlem3  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( G `  X ) )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable group:    x, n, A
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    G( x, n)    X( x, n)    Y( x, n)

Proof of Theorem radcnvlem3
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10894 . 2  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0zd 10657 . 2  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
3 pser.g . . . 4  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
4 radcnv.a . . . 4  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
5 psergf.x . . . 4  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
63, 4, 5psergf 21876 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  X
) : NN0 --> CC )
7 fvco3 5767 . . 3  |-  ( ( ( G `  X
) : NN0 --> CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( abs  o.  ( G `  X ) ) `  k )  =  ( abs `  (
( G `  X
) `  k )
) )
86, 7sylan 471 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( abs  o.  ( G `  X ) ) `  k )  =  ( abs `  ( ( G `  X ) `
 k ) ) )
96ffvelrnda 5842 . 2  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  X ) `  k )  e.  CC )
10 radcnvlem2.y . . 3  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
11 radcnvlem2.a . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  ( abs `  Y ) )
12 radcnvlem2.c . . 3  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( G `  Y ) )  e. 
dom 
~~>  )
133, 4, 5, 10, 11, 12radcnvlem2 21878 . 2  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( abs  o.  ( G `  X ) ) )  e.  dom  ~~>  )
141, 2, 8, 9, 13abscvgcvg 13281 1  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( G `  X ) )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4291    e. cmpt 4349   dom cdm 4839    o. ccom 4843   -->wf 5413   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   CCcc 9279   0cc0 9281    + caddc 9284    x. cmul 9286    < clt 9417   NN0cn0 10578    seqcseq 11805   ^cexp 11864   abscabs 12722    ~~> cli 12961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-inf2 7846  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-pre-sup 9359  ax-addf 9360  ax-mulf 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-pm 7216  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-sup 7690  df-oi 7723  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-div 9993  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-rp 10991  df-ico 11305  df-fz 11437  df-fzo 11548  df-fl 11641  df-seq 11806  df-exp 11865  df-hash 12103  df-cj 12587  df-re 12588  df-im 12589  df-sqr 12723  df-abs 12724  df-limsup 12948  df-clim 12965  df-rlim 12966  df-sum 13163
This theorem is referenced by:  radcnvle  21884
  Copyright terms: Public domain W3C validator