Theorem radcnvlem1 23447

Description: Lemma for radcnvlt1 23452, radcnvle 23454. If X is a point closer to zero than Y and the power series converges at Y, then it converges absolutely at X, even if the terms in the sequence are multiplied by n. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	|- G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
radcnv.a	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
psergf.x	|- ( ph -> X e. CC )
radcnvlem2.y	|- ( ph -> Y e. CC )
radcnvlem2.a	|- ( ph -> ( abs ` X ) < ( abs ` Y ) )
radcnvlem2.c	|- ( ph -> seq 0 ( + , ( G ` Y ) ) e. dom ~~> )
radcnvlem1.h	|- H = ( m e. NN0 |-> ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
radcnvlem1	|- ( ph -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   m, n, x, A   m, H   ph, m   m, X   m, G   m, Y

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   G( x, n)   H( x, n)   X( x, n)   Y( x, n)

Proof of Theorem radcnvlem1

Dummy variables i k j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11217	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		0zd 10973	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
3		1rp 11329	. . . 4 |- 1 e. RR+
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
5		radcnvlem2.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. CC )
6		pser.g	. . . . 5 |- G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
7	6	pserval2 23445	. . . 4 |- ( ( Y e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( G ` Y ) ` k ) = ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) )
8	5, 7	sylan 479	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( G ` Y ) ` k ) = ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) )
9		fvex 5889	. . . . 5 |- ( G ` Y ) e. _V
10	9	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` Y ) e. _V )
11		radcnvlem2.c	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( G ` Y ) ) e. dom ~~> )
12		radcnv.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
13	6, 12, 5	psergf 23446	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` Y ) : NN0 --> CC )
14	13	ffvelrnda 6037	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( G ` Y ) ` k ) e. CC )
15	1, 2, 10, 11, 14	serf0 13824	. . 3 |- ( ph -> ( G ` Y ) ~~> 0 )
16	1, 2, 4, 8, 15	climi0 13653	. 2 |- ( ph -> E. j e. NN0 A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 )
17		simprl 772	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> j e. NN0 )
18		nn0re 10902	. . . . . . 7 |- ( i e. NN0 -> i e. RR )
19	18	adantl 473	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ i e. NN0 ) -> i e. RR )
20		psergf.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. CC )
21	20	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> X e. CC )
22	21	abscld 13575	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` X ) e. RR )
23	5	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> Y e. CC )
24	23	abscld 13575	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` Y ) e. RR )
25		0red 9662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. RR )
26	20	abscld 13575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` X ) e. RR )
27	5	abscld 13575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` Y ) e. RR )
28	20	absge0d 13583	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` X ) )
29		radcnvlem2.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` X ) < ( abs ` Y ) )
30	25, 26, 27, 28, 29	lelttrd 9810	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( abs ` Y ) )
31	30	gt0ne0d 10199	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` Y ) =/= 0 )
32	31	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` Y ) =/= 0 )
33	22, 24, 32	redivcld 10457	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. RR )
34		reexpcl 12327	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. RR /\ i e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) e. RR )
35	33, 34	sylan 479	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) e. RR )
36	19, 35	remulcld 9689	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) e. RR )
37		eqid 2471	. . . . 5 |- ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) = ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) )
38	36, 37	fmptd 6061	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) : NN0 --> RR )
39	38	ffvelrnda 6037	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ` m ) e. RR )
40		nn0re 10902	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN0 -> m e. RR )
41	40	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. RR )
42	6, 12, 20	psergf 23446	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ` X ) : NN0 --> CC )
43	42	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( G ` X ) ` m ) e. CC )
44	43	abscld 13575	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) e. RR )
45	41, 44	remulcld 9689	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) e. RR )
46		radcnvlem1.h	. . . . . . 7 |- H = ( m e. NN0 |-> ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )
47	45, 46	fmptd 6061	. . . . . 6 |- ( ph -> H : NN0 --> RR )
48	47	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> H : NN0 --> RR )
49	48	ffvelrnda 6037	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( H ` m ) e. RR )
50	49	recnd 9687	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( H ` m ) e. CC )
51	26, 27, 31	redivcld 10457	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. RR )
52	51	recnd 9687	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. CC )
53		divge0 10496	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` X ) ) /\ ( ( abs ` Y ) e. RR /\ 0 < ( abs ` Y ) ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) )
54	26, 28, 27, 30, 53	syl22anc 1293	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) )
55	51, 54	absidd 13561	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ) = ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) )
56	27	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` Y ) e. CC )
57	56	mulid1d 9678	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` Y ) x. 1 ) = ( abs ` Y ) )
58	29, 57	breqtrrd 4422	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` X ) < ( ( abs ` Y ) x. 1 ) )
59		1red 9676	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
60		ltdivmul 10502	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( abs ` Y ) e. RR /\ 0 < ( abs ` Y ) ) ) -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) < 1 <-> ( abs ` X ) < ( ( abs ` Y ) x. 1 ) ) )
61	26, 59, 27, 30, 60	syl112anc 1296	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) < 1 <-> ( abs ` X ) < ( ( abs ` Y ) x. 1 ) ) )
62	58, 61	mpbird 240	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) < 1 )
63	55, 62	eqbrtrd 4416	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ) < 1 )
64	37	geomulcvg 14009	. . . . 5 |- ( ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ) < 1 ) -> seq 0 ( + , ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ) e. dom ~~> )
65	52, 63, 64	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ) e. dom ~~> )
66	65	adantr 472	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> seq 0 ( + , ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ) e. dom ~~> )
67		1red 9676	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> 1 e. RR )
68	42	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` X ) : NN0 --> CC )
69		eluznn0 11251	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. NN0 /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. NN0 )
70	17, 69	sylan 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. NN0 )
71	68, 70	ffvelrnd 6038	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` X ) ` m ) e. CC )
72	71	abscld 13575	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) e. RR )
73	33	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. RR )
74	73, 70	reexpcld 12471	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) e. RR )
75	70	nn0red 10950	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. RR )
76	70	nn0ge0d 10952	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ m )
77	12	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A : NN0 --> CC )
78	77, 70	ffvelrnd 6038	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A ` m ) e. CC )
79	5	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> Y e. CC )
80	79, 70	expcld 12454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( Y ^ m ) e. CC )
81	78, 80	mulcld 9681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) e. CC )
82	81	abscld 13575	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) e. RR )
83		1red 9676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 1 e. RR )
84	20	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> X e. CC )
85	84	abscld 13575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` X ) e. RR )
86	85, 70	reexpcld 12471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` X ) ^ m ) e. RR )
87	84	absge0d 13583	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ ( abs ` X ) )
88	85, 70, 87	expge0d 12472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` X ) ^ m ) )
89		simprr 774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 )
90		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( A ` k ) = ( A ` m ) )
91		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( Y ^ k ) = ( Y ^ m ) )
92	90, 91	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = m -> ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) = ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) )
93	92	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) = ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) )
94	93	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 <-> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) < 1 ) )
95	94	rspccva 3135	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) < 1 )
96	89, 95	sylan 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) < 1 )
97		1re 9660	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
98		ltle 9740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) <_ 1 ) )
99	82, 97, 98	sylancl 675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) <_ 1 ) )
100	96, 99	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) <_ 1 )
101	82, 83, 86, 88, 100	lemul1ad 10568	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) <_ ( 1 x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) )
102	84, 70	expcld 12454	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( X ^ m ) e. CC )
103	78, 102	mulcld 9681	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) e. CC )
104	103, 80	absmuld 13593	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) x. ( Y ^ m ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( abs ` ( Y ^ m ) ) ) )
105	81, 102	absmuld 13593	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) x. ( X ^ m ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( abs ` ( X ^ m ) ) ) )
106	78, 80, 102	mul32d 9861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) x. ( X ^ m ) ) = ( ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) x. ( Y ^ m ) ) )
107	106	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) x. ( X ^ m ) ) ) = ( abs ` ( ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) x. ( Y ^ m ) ) ) )
108	84, 70	absexpd 13591	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( X ^ m ) ) = ( ( abs ` X ) ^ m ) )
109	108	oveq2d 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( abs ` ( X ^ m ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) )
110	105, 107, 109	3eqtr3d 2513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) x. ( Y ^ m ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) )
111	79, 70	absexpd 13591	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( Y ^ m ) ) = ( ( abs ` Y ) ^ m ) )
112	111	oveq2d 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( abs ` ( Y ^ m ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) )
113	104, 110, 112	3eqtr3d 2513	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) )
114	86	recnd 9687	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` X ) ^ m ) e. CC )
115	114	mulid2d 9679	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 1 x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) = ( ( abs ` X ) ^ m ) )
116	101, 113, 115	3brtr3d 4425	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) <_ ( ( abs ` X ) ^ m ) )
117	103	abscld 13575	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) e. RR )
118	24	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` Y ) e. RR )
119	118, 70	reexpcld 12471	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` Y ) ^ m ) e. RR )
120		eluzelz 11192	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> m e. ZZ )
121	120	adantl 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. ZZ )
122	30	ad2antrr 740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 < ( abs ` Y ) )
123		expgt0 12343	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` Y ) e. RR /\ m e. ZZ /\ 0 < ( abs ` Y ) ) -> 0 < ( ( abs ` Y ) ^ m ) )
124	118, 121, 122, 123	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 < ( ( abs ` Y ) ^ m ) )
125		lemuldiv 10508	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` X ) ^ m ) e. RR /\ ( ( ( abs ` Y ) ^ m ) e. RR /\ 0 < ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) <_ ( ( abs ` X ) ^ m ) <-> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) <_ ( ( ( abs ` X ) ^ m ) / ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) ) )
126	117, 86, 119, 124, 125	syl112anc 1296	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) <_ ( ( abs ` X ) ^ m ) <-> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) <_ ( ( ( abs ` X ) ^ m ) / ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) ) )
127	116, 126	mpbid 215	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) <_ ( ( ( abs ` X ) ^ m ) / ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) )
128	6	pserval2 23445	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( ( G ` X ) ` m ) = ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) )
129	84, 70, 128	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` X ) ` m ) = ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) )
130	129	fveq2d 5883	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) = ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) )
131	22	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` X ) e. CC )
132	131	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` X ) e. CC )
133	24	recnd 9687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` Y ) e. CC )
134	133	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` Y ) e. CC )
135	31	ad2antrr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` Y ) =/= 0 )
136	132, 134, 135, 70	expdivd 12468	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) = ( ( ( abs ` X ) ^ m ) / ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) )
137	127, 130, 136	3brtr4d 4426	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) <_ ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) )
138	72, 74, 75, 76, 137	lemul2ad 10569	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) <_ ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) )
139	75, 72	remulcld 9689	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) e. RR )
140	71	absge0d 13583	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) )
141	75, 72, 76, 140	mulge0d 10211	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )
142	139, 141	absidd 13561	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) ) = ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )
143	75, 74	remulcld 9689	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) e. RR )
144	143	recnd 9687	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) e. CC )
145	144	mulid2d 9679	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 1 x. ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) ) = ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) )
146	138, 142, 145	3brtr4d 4426	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) ) <_ ( 1 x. ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) ) )
147		ovex 6336	. . . . . 6 |- ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) e. _V
148	46	fvmpt2 5972	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN0 /\ ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) e. _V ) -> ( H ` m ) = ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )
149	70, 147, 148	sylancl 675	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( H ` m ) = ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )
150	149	fveq2d 5883	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( H ` m ) ) = ( abs ` ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) ) )
151		id 22	. . . . . . . 8 |- ( i = m -> i = m )
152		oveq2 6316	. . . . . . . 8 |- ( i = m -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) = ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) )
153	151, 152	oveq12d 6326	. . . . . . 7 |- ( i = m -> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) = ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) )
154		ovex 6336	. . . . . . 7 |- ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) e. _V
155	153, 37, 154	fvmpt 5963	. . . . . 6 |- ( m e. NN0 -> ( ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ` m ) = ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) )
156	70, 155	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ` m ) = ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) )
157	156	oveq2d 6324	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 1 x. ( ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ` m ) ) = ( 1 x. ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) ) )
158	146, 150, 157	3brtr4d 4426	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( H ` m ) ) <_ ( 1 x. ( ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ` m ) ) )
159	1, 17, 39, 50, 66, 67, 158	cvgcmpce 13955	. 2 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )
160	16, 159	rexlimddv 2875	1 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   _Vcvv 3031   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   CCcc 9555   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   < clt 9693   <_ cle 9694   / cdiv 10291   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182   RR+crp 11325   seqcseq 12251   ^cexp 12310   abscabs 13374   ~~> cli 13625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830

This theorem is referenced by:  radcnvlem2  23448  radcnvlt1  23452