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Theorem radcnvlem1 22974
Description: Lemma for radcnvlt1 22979, radcnvle 22981. If  X is a point closer to zero than  Y and the power series converges at 
Y, then it converges absolutely at 
X, even if the terms in the sequence are multiplied by  n. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
radcnv.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
psergf.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
radcnvlem2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
radcnvlem2.a  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  ( abs `  Y ) )
radcnvlem2.c  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( G `  Y ) )  e. 
dom 
~~>  )
radcnvlem1.h  |-  H  =  ( m  e.  NN0  |->  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
radcnvlem1  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    m, n, x, A    m, H    ph, m    m, X    m, G    m, Y
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    G( x, n)    H( x, n)    X( x, n)    Y( x, n)

Proof of Theorem radcnvlem1
Dummy variables  i 
k  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11116 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0zd 10872 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
3 1rp 11225 . . . 4  |-  1  e.  RR+
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
5 radcnvlem2.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
6 pser.g . . . . 5  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
76pserval2 22972 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  Y ) `  k
)  =  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^
k ) ) )
85, 7sylan 469 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  Y ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )
9 fvex 5858 . . . . 5  |-  ( G `
 Y )  e. 
_V
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
)  e.  _V )
11 radcnvlem2.c . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( G `  Y ) )  e. 
dom 
~~>  )
12 radcnv.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
136, 12, 5psergf 22973 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
) : NN0 --> CC )
1413ffvelrnda 6007 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  Y ) `  k )  e.  CC )
151, 2, 10, 11, 14serf0 13585 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
)  ~~>  0 )
161, 2, 4, 8, 15climi0 13417 . 2  |-  ( ph  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 )
17 simprl 754 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  j  e.  NN0 )
18 nn0re 10800 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  RR )
1918adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  i  e. 
NN0 )  ->  i  e.  RR )
20 psergf.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
2120adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  X  e.  CC )
2221abscld 13349 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
235adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  Y  e.  CC )
2423abscld 13349 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( abs `  Y )  e.  RR )
25 0red 9586 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2620abscld 13349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  RR )
275abscld 13349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  e.  RR )
2820absge0d 13357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
29 radcnvlem2.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  ( abs `  Y ) )
3025, 26, 27, 28, 29lelttrd 9729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( abs `  Y ) )
3130gt0ne0d 10113 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  =/=  0 )
3231adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( abs `  Y )  =/=  0
)
3322, 24, 32redivcld 10368 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( ( abs `  X )  / 
( abs `  Y
) )  e.  RR )
34 reexpcl 12165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) )  e.  RR  /\  i  e. 
NN0 )  ->  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i )  e.  RR )
3533, 34sylan 469 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  i  e. 
NN0 )  ->  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i )  e.  RR )
3619, 35remulcld 9613 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  i  e. 
NN0 )  ->  (
i  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) )  e.  RR )
37 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) ) )
3836, 37fmptd 6031 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ i ) ) ) : NN0 --> RR )
3938ffvelrnda 6007 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e. 
NN0 )  ->  (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) ) ) `
 m )  e.  RR )
40 nn0re 10800 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
4140adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  RR )
426, 12, 20psergf 22973 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  X
) : NN0 --> CC )
4342ffvelrnda 6007 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  X ) `  m )  e.  CC )
4443abscld 13349 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) )  e.  RR )
4541, 44remulcld 9613 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) )  e.  RR )
46 radcnvlem1.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( m  e.  NN0  |->  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) ) ) )
4745, 46fmptd 6031 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H : NN0 --> RR )
4847adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  H : NN0
--> RR )
4948ffvelrnda 6007 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e. 
NN0 )  ->  ( H `  m )  e.  RR )
5049recnd 9611 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e. 
NN0 )  ->  ( H `  m )  e.  CC )
5126, 27, 31redivcld 10368 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) )  e.  RR )
5251recnd 9611 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) )  e.  CC )
53 divge0 10407 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  X
) )  /\  (
( abs `  Y
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( ( abs `  X )  / 
( abs `  Y
) ) )
5426, 28, 27, 30, 53syl22anc 1227 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( abs `  X )  / 
( abs `  Y
) ) )
5551, 54absidd 13336 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) )  =  ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) )
5627recnd 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  e.  CC )
5756mulid1d 9602 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  x.  1 )  =  ( abs `  Y
) )
5829, 57breqtrrd 4465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  ( ( abs `  Y )  x.  1 ) )
59 1red 9600 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
60 ltdivmul 10413 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( abs `  Y
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  Y
) ) )  -> 
( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) )  <  1  <->  ( abs `  X )  <  (
( abs `  Y
)  x.  1 ) ) )
6126, 59, 27, 30, 60syl112anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) )  <  1  <->  ( abs `  X )  <  (
( abs `  Y
)  x.  1 ) ) )
6258, 61mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) )  <  1 )
6355, 62eqbrtrd 4459 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) )  <  1 )
6437geomulcvg 13767 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) )  <  1 )  ->  seq 0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
6552, 63, 64syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ i ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
6665adantr 463 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  seq 0
(  +  ,  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
67 1red 9600 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  1  e.  RR )
6842ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( G `  X ) : NN0 --> CC )
69 eluznn0 11152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  NN0 )
7017, 69sylan 469 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  m  e.  NN0 )
7168, 70ffvelrnd 6008 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( G `  X ) `  m )  e.  CC )
7271abscld 13349 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) )  e.  RR )
7333adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  X )  / 
( abs `  Y
) )  e.  RR )
7473, 70reexpcld 12309 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m )  e.  RR )
7570nn0red 10849 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  m  e.  RR )
7670nn0ge0d 10851 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  m )
7712ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  A : NN0
--> CC )
7877, 70ffvelrnd 6008 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A `  m )  e.  CC )
795ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  Y  e.  CC )
8079, 70expcld 12292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( Y ^ m )  e.  CC )
8178, 80mulcld 9605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m
) )  e.  CC )
8281abscld 13349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m ) ) )  e.  RR )
83 1red 9600 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  1  e.  RR )
8420ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  X  e.  CC )
8584abscld 13349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
8685, 70reexpcld 12309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  X ) ^
m )  e.  RR )
8784absge0d 13357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
8885, 70, 87expge0d 12310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  ( ( abs `  X
) ^ m ) )
89 simprr 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 )
90 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  ( A `  k )  =  ( A `  m ) )
91 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  ( Y ^ k )  =  ( Y ^ m
) )
9290, 91oveq12d 6288 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) )  =  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )
9392fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( Y ^ k
) ) )  =  ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( Y ^ m ) ) ) )
9493breq1d 4449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1  <->  ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )  <  1 ) )
9594rspccva 3206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^
k ) ) )  <  1  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m ) ) )  <  1 )
9689, 95sylan 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m ) ) )  <  1 )
97 1re 9584 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
98 ltle 9662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( Y ^ m ) ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( Y ^ m ) ) )  <  1  -> 
( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( Y ^ m ) ) )  <_  1 ) )
9982, 97, 98sylancl 660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )  <  1  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m ) ) )  <_  1 ) )
10096, 99mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m ) ) )  <_  1 )
10182, 83, 86, 88, 100lemul1ad 10480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )  x.  ( ( abs `  X
) ^ m ) )  <_  ( 1  x.  ( ( abs `  X ) ^ m
) ) )
10284, 70expcld 12292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( X ^ m )  e.  CC )
10378, 102mulcld 9605 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( A `  m )  x.  ( X ^ m
) )  e.  CC )
104103, 80absmuld 13367 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) )  x.  ( Y ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) )  x.  ( abs `  ( Y ^ m ) ) ) )
10581, 102absmuld 13367 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) )  x.  ( X ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^
m ) ) )  x.  ( abs `  ( X ^ m ) ) ) )
10678, 80, 102mul32d 9779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( A `  m
)  x.  ( Y ^ m ) )  x.  ( X ^
m ) )  =  ( ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) )  x.  ( Y ^ m ) ) )
107106fveq2d 5852 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) )  x.  ( X ^ m ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) )  x.  ( Y ^ m ) ) ) )
10884, 70absexpd 13365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( X ^ m
) )  =  ( ( abs `  X
) ^ m ) )
109108oveq2d 6286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )  x.  ( abs `  ( X ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^
m ) ) )  x.  ( ( abs `  X ) ^ m
) ) )
110105, 107, 1093eqtr3d 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) )  x.  ( Y ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^
m ) ) )  x.  ( ( abs `  X ) ^ m
) ) )
11179, 70absexpd 13365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( Y ^ m
) )  =  ( ( abs `  Y
) ^ m ) )
112111oveq2d 6286 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) ) )  x.  ( abs `  ( Y ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) )  x.  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) )
113104, 110, 1123eqtr3d 2503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )  x.  ( ( abs `  X
) ^ m ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) )  x.  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) )
11486recnd 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  X ) ^
m )  e.  CC )
115114mulid2d 9603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( 1  x.  ( ( abs `  X ) ^ m
) )  =  ( ( abs `  X
) ^ m ) )
116101, 113, 1153brtr3d 4468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) ) )  x.  ( ( abs `  Y
) ^ m ) )  <_  ( ( abs `  X ) ^
m ) )
117103abscld 13349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^ m ) ) )  e.  RR )
11824adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  Y )  e.  RR )
119118, 70reexpcld 12309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  Y ) ^
m )  e.  RR )
120 eluzelz 11091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  m  e.  ZZ )
121120adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  m  e.  ZZ )
12230ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <  ( abs `  Y ) )
123 expgt0 12181 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  Y
)  e.  RR  /\  m  e.  ZZ  /\  0  <  ( abs `  Y
) )  ->  0  <  ( ( abs `  Y
) ^ m ) )
124118, 121, 122, 123syl3anc 1226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <  ( ( abs `  Y
) ^ m ) )
125 lemuldiv 10419 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  X
) ^ m )  e.  RR  /\  (
( ( abs `  Y
) ^ m )  e.  RR  /\  0  <  ( ( abs `  Y
) ^ m ) ) )  ->  (
( ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )  x.  ( ( abs `  Y ) ^ m ) )  <_  ( ( abs `  X ) ^ m
)  <->  ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )  <_  ( (
( abs `  X
) ^ m )  /  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) ) )
126117, 86, 119, 124, 125syl112anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )  x.  ( ( abs `  Y ) ^ m ) )  <_  ( ( abs `  X ) ^ m
)  <->  ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )  <_  ( (
( abs `  X
) ^ m )  /  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) ) )
127116, 126mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^ m ) ) )  <_  ( (
( abs `  X
) ^ m )  /  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) )
1286pserval2 22972 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  X ) `  m
)  =  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) )
12984, 70, 128syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( G `  X ) `  m )  =  ( ( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )
130129fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) )  =  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) ) )
13122recnd 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( abs `  X )  e.  CC )
132131adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  X )  e.  CC )
13324recnd 9611 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( abs `  Y )  e.  CC )
134133adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  Y )  e.  CC )
13531ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  Y )  =/=  0
)
136132, 134, 135, 70expdivd 12306 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m )  =  ( ( ( abs `  X
) ^ m )  /  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) )
137127, 130, 1363brtr4d 4469 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) )  <_  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) )
13872, 74, 75, 76, 137lemul2ad 10481 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) )  <_  (
m  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) ) )
13975, 72remulcld 9613 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) )  e.  RR )
14071absge0d 13357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  ( abs `  ( ( G `  X ) `
 m ) ) )
14175, 72, 76, 140mulge0d 10125 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) ) ) )
142139, 141absidd 13336 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) ) ) )  =  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) ) )
14375, 74remulcld 9613 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ m ) )  e.  RR )
144143recnd 9611 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ m ) )  e.  CC )
145144mulid2d 9603 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( 1  x.  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ m ) ) )  =  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ m
) ) )
146138, 142, 1453brtr4d 4469 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) ) ) )  <_  ( 1  x.  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ m ) ) ) )
147 ovex 6298 . . . . . 6  |-  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) )  e.  _V
14846fvmpt2 5939 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) ) )  e.  _V )  -> 
( H `  m
)  =  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) ) )
14970, 147, 148sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( H `  m )  =  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) ) ) )
150149fveq2d 5852 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( H `  m
) )  =  ( abs `  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) ) ) )
151 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  i  =  m )
152 oveq2 6278 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i )  =  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) )
153151, 152oveq12d 6288 . . . . . . 7  |-  ( i  =  m  ->  (
i  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) )  =  ( m  x.  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) ) )
154 ovex 6298 . . . . . . 7  |-  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ m
) )  e.  _V
155153, 37, 154fvmpt 5931 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) ) `  m )  =  ( m  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) ) )
15670, 155syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) ) `  m )  =  ( m  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) ) )
157156oveq2d 6286 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( 1  x.  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) ) `  m ) )  =  ( 1  x.  (
m  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) ) ) )
158146, 150, 1573brtr4d 4469 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( H `  m
) )  <_  (
1  x.  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) ) `  m ) ) )
1591, 17, 39, 50, 66, 67, 158cvgcmpce 13714 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  seq 0
(  +  ,  H
)  e.  dom  ~~>  )
16016, 159rexlimddv 2950 1  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   A.wral 2804   _Vcvv 3106   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    / cdiv 10202   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11221    seqcseq 12089   ^cexp 12148   abscabs 13149    ~~> cli 13389
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-ico 11538  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591
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