Theorem radcnvlem1 23368

Description: Lemma for radcnvlt1 23373, radcnvle 23375. If X is a point closer to zero than Y and the power series converges at Y, then it converges absolutely at X, even if the terms in the sequence are multiplied by n. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	|- G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
radcnv.a	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
psergf.x	|- ( ph -> X e. CC )
radcnvlem2.y	|- ( ph -> Y e. CC )
radcnvlem2.a	|- ( ph -> ( abs ` X ) < ( abs ` Y ) )
radcnvlem2.c	|- ( ph -> seq 0 ( + , ( G ` Y ) ) e. dom ~~> )
radcnvlem1.h	|- H = ( m e. NN0 |-> ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
radcnvlem1	|- ( ph -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   m, n, x, A   m, H   ph, m   m, X   m, G   m, Y

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   G( x, n)   H( x, n)   X( x, n)   Y( x, n)

Proof of Theorem radcnvlem1

Dummy variables i k j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11193	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		0zd 10949	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
3		1rp 11306	. . . 4 |- 1 e. RR+
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
5		radcnvlem2.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. CC )
6		pser.g	. . . . 5 |- G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
7	6	pserval2 23366	. . . 4 |- ( ( Y e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( G ` Y ) ` k ) = ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) )
8	5, 7	sylan 474	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( G ` Y ) ` k ) = ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) )
9		fvex 5875	. . . . 5 |- ( G ` Y ) e. _V
10	9	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` Y ) e. _V )
11		radcnvlem2.c	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( G ` Y ) ) e. dom ~~> )
12		radcnv.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
13	6, 12, 5	psergf 23367	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` Y ) : NN0 --> CC )
14	13	ffvelrnda 6022	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( G ` Y ) ` k ) e. CC )
15	1, 2, 10, 11, 14	serf0 13747	. . 3 |- ( ph -> ( G ` Y ) ~~> 0 )
16	1, 2, 4, 8, 15	climi0 13576	. 2 |- ( ph -> E. j e. NN0 A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 )
17		simprl 764	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> j e. NN0 )
18		nn0re 10878	. . . . . . 7 |- ( i e. NN0 -> i e. RR )
19	18	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ i e. NN0 ) -> i e. RR )
20		psergf.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. CC )
21	20	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> X e. CC )
22	21	abscld 13498	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` X ) e. RR )
23	5	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> Y e. CC )
24	23	abscld 13498	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` Y ) e. RR )
25		0red 9644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. RR )
26	20	abscld 13498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` X ) e. RR )
27	5	abscld 13498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` Y ) e. RR )
28	20	absge0d 13506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` X ) )
29		radcnvlem2.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` X ) < ( abs ` Y ) )
30	25, 26, 27, 28, 29	lelttrd 9793	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( abs ` Y ) )
31	30	gt0ne0d 10178	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` Y ) =/= 0 )
32	31	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` Y ) =/= 0 )
33	22, 24, 32	redivcld 10435	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. RR )
34		reexpcl 12289	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. RR /\ i e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) e. RR )
35	33, 34	sylan 474	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) e. RR )
36	19, 35	remulcld 9671	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) e. RR )
37		eqid 2451	. . . . 5 |- ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) = ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) )
38	36, 37	fmptd 6046	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) : NN0 --> RR )
39	38	ffvelrnda 6022	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ` m ) e. RR )
40		nn0re 10878	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN0 -> m e. RR )
41	40	adantl 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. RR )
42	6, 12, 20	psergf 23367	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ` X ) : NN0 --> CC )
43	42	ffvelrnda 6022	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( G ` X ) ` m ) e. CC )
44	43	abscld 13498	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) e. RR )
45	41, 44	remulcld 9671	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) e. RR )
46		radcnvlem1.h	. . . . . . 7 |- H = ( m e. NN0 |-> ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )
47	45, 46	fmptd 6046	. . . . . 6 |- ( ph -> H : NN0 --> RR )
48	47	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> H : NN0 --> RR )
49	48	ffvelrnda 6022	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( H ` m ) e. RR )
50	49	recnd 9669	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( H ` m ) e. CC )
51	26, 27, 31	redivcld 10435	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. RR )
52	51	recnd 9669	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. CC )
53		divge0 10474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` X ) ) /\ ( ( abs ` Y ) e. RR /\ 0 < ( abs ` Y ) ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) )
54	26, 28, 27, 30, 53	syl22anc 1269	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) )
55	51, 54	absidd 13484	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ) = ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) )
56	27	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` Y ) e. CC )
57	56	mulid1d 9660	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` Y ) x. 1 ) = ( abs ` Y ) )
58	29, 57	breqtrrd 4429	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` X ) < ( ( abs ` Y ) x. 1 ) )
59		1red 9658	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
60		ltdivmul 10480	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( abs ` Y ) e. RR /\ 0 < ( abs ` Y ) ) ) -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) < 1 <-> ( abs ` X ) < ( ( abs ` Y ) x. 1 ) ) )
61	26, 59, 27, 30, 60	syl112anc 1272	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) < 1 <-> ( abs ` X ) < ( ( abs ` Y ) x. 1 ) ) )
62	58, 61	mpbird 236	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) < 1 )
63	55, 62	eqbrtrd 4423	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ) < 1 )
64	37	geomulcvg 13932	. . . . 5 |- ( ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ) < 1 ) -> seq 0 ( + , ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ) e. dom ~~> )
65	52, 63, 64	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ) e. dom ~~> )
66	65	adantr 467	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> seq 0 ( + , ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ) e. dom ~~> )
67		1red 9658	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> 1 e. RR )
68	42	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` X ) : NN0 --> CC )
69		eluznn0 11228	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. NN0 /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. NN0 )
70	17, 69	sylan 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. NN0 )
71	68, 70	ffvelrnd 6023	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` X ) ` m ) e. CC )
72	71	abscld 13498	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) e. RR )
73	33	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. RR )
74	73, 70	reexpcld 12433	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) e. RR )
75	70	nn0red 10926	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. RR )
76	70	nn0ge0d 10928	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ m )
77	12	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A : NN0 --> CC )
78	77, 70	ffvelrnd 6023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A ` m ) e. CC )
79	5	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> Y e. CC )
80	79, 70	expcld 12416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( Y ^ m ) e. CC )
81	78, 80	mulcld 9663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) e. CC )
82	81	abscld 13498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) e. RR )
83		1red 9658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 1 e. RR )
84	20	ad2antrr 732	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> X e. CC )
85	84	abscld 13498	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` X ) e. RR )
86	85, 70	reexpcld 12433	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` X ) ^ m ) e. RR )
87	84	absge0d 13506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ ( abs ` X ) )
88	85, 70, 87	expge0d 12434	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` X ) ^ m ) )
89		simprr 766	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 )
90		fveq2 5865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( A ` k ) = ( A ` m ) )
91		oveq2 6298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( Y ^ k ) = ( Y ^ m ) )
92	90, 91	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = m -> ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) = ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) )
93	92	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) = ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) )
94	93	breq1d 4412	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 <-> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) < 1 ) )
95	94	rspccva 3149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) < 1 )
96	89, 95	sylan 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) < 1 )
97		1re 9642	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
98		ltle 9722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) <_ 1 ) )
99	82, 97, 98	sylancl 668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) <_ 1 ) )
100	96, 99	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) <_ 1 )
101	82, 83, 86, 88, 100	lemul1ad 10546	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) <_ ( 1 x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) )
102	84, 70	expcld 12416	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( X ^ m ) e. CC )
103	78, 102	mulcld 9663	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) e. CC )
104	103, 80	absmuld 13516	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) x. ( Y ^ m ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( abs ` ( Y ^ m ) ) ) )
105	81, 102	absmuld 13516	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) x. ( X ^ m ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( abs ` ( X ^ m ) ) ) )
106	78, 80, 102	mul32d 9843	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) x. ( X ^ m ) ) = ( ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) x. ( Y ^ m ) ) )
107	106	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) x. ( X ^ m ) ) ) = ( abs ` ( ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) x. ( Y ^ m ) ) ) )
108	84, 70	absexpd 13514	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( X ^ m ) ) = ( ( abs ` X ) ^ m ) )
109	108	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( abs ` ( X ^ m ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) )
110	105, 107, 109	3eqtr3d 2493	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) x. ( Y ^ m ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) )
111	79, 70	absexpd 13514	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( Y ^ m ) ) = ( ( abs ` Y ) ^ m ) )
112	111	oveq2d 6306	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( abs ` ( Y ^ m ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) )
113	104, 110, 112	3eqtr3d 2493	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) )
114	86	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` X ) ^ m ) e. CC )
115	114	mulid2d 9661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 1 x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) = ( ( abs ` X ) ^ m ) )
116	101, 113, 115	3brtr3d 4432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) <_ ( ( abs ` X ) ^ m ) )
117	103	abscld 13498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) e. RR )
118	24	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` Y ) e. RR )
119	118, 70	reexpcld 12433	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` Y ) ^ m ) e. RR )
120		eluzelz 11168	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> m e. ZZ )
121	120	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. ZZ )
122	30	ad2antrr 732	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 < ( abs ` Y ) )
123		expgt0 12305	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` Y ) e. RR /\ m e. ZZ /\ 0 < ( abs ` Y ) ) -> 0 < ( ( abs ` Y ) ^ m ) )
124	118, 121, 122, 123	syl3anc 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 < ( ( abs ` Y ) ^ m ) )
125		lemuldiv 10486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` X ) ^ m ) e. RR /\ ( ( ( abs ` Y ) ^ m ) e. RR /\ 0 < ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) <_ ( ( abs ` X ) ^ m ) <-> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) <_ ( ( ( abs ` X ) ^ m ) / ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) ) )
126	117, 86, 119, 124, 125	syl112anc 1272	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) <_ ( ( abs ` X ) ^ m ) <-> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) <_ ( ( ( abs ` X ) ^ m ) / ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) ) )
127	116, 126	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) <_ ( ( ( abs ` X ) ^ m ) / ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) )
128	6	pserval2 23366	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( ( G ` X ) ` m ) = ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) )
129	84, 70, 128	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` X ) ` m ) = ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) )
130	129	fveq2d 5869	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) = ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) )
131	22	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` X ) e. CC )
132	131	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` X ) e. CC )
133	24	recnd 9669	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` Y ) e. CC )
134	133	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` Y ) e. CC )
135	31	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` Y ) =/= 0 )
136	132, 134, 135, 70	expdivd 12430	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) = ( ( ( abs ` X ) ^ m ) / ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) )
137	127, 130, 136	3brtr4d 4433	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) <_ ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) )
138	72, 74, 75, 76, 137	lemul2ad 10547	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) <_ ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) )
139	75, 72	remulcld 9671	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) e. RR )
140	71	absge0d 13506	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) )
141	75, 72, 76, 140	mulge0d 10190	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )
142	139, 141	absidd 13484	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) ) = ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )
143	75, 74	remulcld 9671	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) e. RR )
144	143	recnd 9669	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) e. CC )
145	144	mulid2d 9661	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 1 x. ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) ) = ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) )
146	138, 142, 145	3brtr4d 4433	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) ) <_ ( 1 x. ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) ) )
147		ovex 6318	. . . . . 6 |- ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) e. _V
148	46	fvmpt2 5957	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN0 /\ ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) e. _V ) -> ( H ` m ) = ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )
149	70, 147, 148	sylancl 668	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( H ` m ) = ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )
150	149	fveq2d 5869	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( H ` m ) ) = ( abs ` ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) ) )
151		id 22	. . . . . . . 8 |- ( i = m -> i = m )
152		oveq2 6298	. . . . . . . 8 |- ( i = m -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) = ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) )
153	151, 152	oveq12d 6308	. . . . . . 7 |- ( i = m -> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) = ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) )
154		ovex 6318	. . . . . . 7 |- ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) e. _V
155	153, 37, 154	fvmpt 5948	. . . . . 6 |- ( m e. NN0 -> ( ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ` m ) = ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) )
156	70, 155	syl 17	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ` m ) = ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) )
157	156	oveq2d 6306	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 1 x. ( ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ` m ) ) = ( 1 x. ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) ) )
158	146, 150, 157	3brtr4d 4433	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( H ` m ) ) <_ ( 1 x. ( ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ` m ) ) )
159	1, 17, 39, 50, 66, 67, 158	cvgcmpce 13878	. 2 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )
160	16, 159	rexlimddv 2883	1 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   =/= wne 2622   A.wral 2737   _Vcvv 3045   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   < clt 9675   <_ cle 9676   / cdiv 10269   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ZZ>=cuz 11159   RR+crp 11302   seqcseq 12213   ^cexp 12272   abscabs 13297   ~~> cli 13548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-rp 11303  df-ico 11641  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753

This theorem is referenced by:  radcnvlem2  23369  radcnvlt1  23373