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Theorem radcnvlem1 21876
Description: Lemma for radcnvlt1 21881, radcnvle 21883. If  X is a point closer to zero than  Y and the power series converges at 
Y, then it converges absolutely at 
X, even if the terms in the sequence are multiplied by  n. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
radcnv.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
psergf.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
radcnvlem2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
radcnvlem2.a  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  ( abs `  Y ) )
radcnvlem2.c  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( G `  Y ) )  e. 
dom 
~~>  )
radcnvlem1.h  |-  H  =  ( m  e.  NN0  |->  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
radcnvlem1  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    m, n, x, A    m, H    ph, m    m, X    m, G    m, Y
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    G( x, n)    H( x, n)    X( x, n)    Y( x, n)

Proof of Theorem radcnvlem1
Dummy variables  i 
k  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 10893 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0zd 10656 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
3 1rp 10993 . . . 4  |-  1  e.  RR+
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
5 radcnvlem2.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
6 pser.g . . . . 5  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
76pserval2 21874 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  Y ) `  k
)  =  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^
k ) ) )
85, 7sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  Y ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )
9 fvex 5699 . . . . 5  |-  ( G `
 Y )  e. 
_V
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
)  e.  _V )
11 radcnvlem2.c . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( G `  Y ) )  e. 
dom 
~~>  )
12 radcnv.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
136, 12, 5psergf 21875 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
) : NN0 --> CC )
1413ffvelrnda 5841 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  Y ) `  k )  e.  CC )
151, 2, 10, 11, 14serf0 13156 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
)  ~~>  0 )
161, 2, 4, 8, 15climi0 12988 . 2  |-  ( ph  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 )
17 simprl 755 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  j  e.  NN0 )
18 nn0re 10586 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  RR )
1918adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  i  e. 
NN0 )  ->  i  e.  RR )
20 psergf.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
2120adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  X  e.  CC )
2221abscld 12920 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
235adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  Y  e.  CC )
2423abscld 12920 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( abs `  Y )  e.  RR )
25 0red 9385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2620abscld 12920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  RR )
275abscld 12920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  e.  RR )
2820absge0d 12928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
29 radcnvlem2.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  ( abs `  Y ) )
3025, 26, 27, 28, 29lelttrd 9527 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( abs `  Y ) )
3130gt0ne0d 9902 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  =/=  0 )
3231adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( abs `  Y )  =/=  0
)
3322, 24, 32redivcld 10157 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( ( abs `  X )  / 
( abs `  Y
) )  e.  RR )
34 reexpcl 11880 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) )  e.  RR  /\  i  e. 
NN0 )  ->  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i )  e.  RR )
3533, 34sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  i  e. 
NN0 )  ->  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i )  e.  RR )
3619, 35remulcld 9412 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  i  e. 
NN0 )  ->  (
i  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) )  e.  RR )
37 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) ) )
3836, 37fmptd 5865 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ i ) ) ) : NN0 --> RR )
3938ffvelrnda 5841 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e. 
NN0 )  ->  (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) ) ) `
 m )  e.  RR )
40 nn0re 10586 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
4140adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  RR )
426, 12, 20psergf 21875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  X
) : NN0 --> CC )
4342ffvelrnda 5841 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  X ) `  m )  e.  CC )
4443abscld 12920 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) )  e.  RR )
4541, 44remulcld 9412 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) )  e.  RR )
46 radcnvlem1.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( m  e.  NN0  |->  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) ) ) )
4745, 46fmptd 5865 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H : NN0 --> RR )
4847adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  H : NN0
--> RR )
4948ffvelrnda 5841 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e. 
NN0 )  ->  ( H `  m )  e.  RR )
5049recnd 9410 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e. 
NN0 )  ->  ( H `  m )  e.  CC )
5126, 27, 31redivcld 10157 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) )  e.  RR )
5251recnd 9410 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) )  e.  CC )
53 divge0 10196 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  X
) )  /\  (
( abs `  Y
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( ( abs `  X )  / 
( abs `  Y
) ) )
5426, 28, 27, 30, 53syl22anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( abs `  X )  / 
( abs `  Y
) ) )
5551, 54absidd 12907 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) )  =  ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) )
5627recnd 9410 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  e.  CC )
5756mulid1d 9401 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  x.  1 )  =  ( abs `  Y
) )
5829, 57breqtrrd 4316 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  ( ( abs `  Y )  x.  1 ) )
59 1red 9399 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
60 ltdivmul 10202 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( abs `  Y
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  Y
) ) )  -> 
( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) )  <  1  <->  ( abs `  X )  <  (
( abs `  Y
)  x.  1 ) ) )
6126, 59, 27, 30, 60syl112anc 1222 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) )  <  1  <->  ( abs `  X )  <  (
( abs `  Y
)  x.  1 ) ) )
6258, 61mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) )  <  1 )
6355, 62eqbrtrd 4310 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) )  <  1 )
6437geomulcvg 13334 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) )  <  1 )  ->  seq 0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
6552, 63, 64syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ i ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
6665adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  seq 0
(  +  ,  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
67 1red 9399 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  1  e.  RR )
6842ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( G `  X ) : NN0 --> CC )
69 eluznn0 10922 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  NN0 )
7017, 69sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  m  e.  NN0 )
7168, 70ffvelrnd 5842 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( G `  X ) `  m )  e.  CC )
7271abscld 12920 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) )  e.  RR )
7333adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  X )  / 
( abs `  Y
) )  e.  RR )
7473, 70reexpcld 12023 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m )  e.  RR )
7570nn0red 10635 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  m  e.  RR )
7670nn0ge0d 10637 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  m )
7712ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  A : NN0
--> CC )
7877, 70ffvelrnd 5842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A `  m )  e.  CC )
795ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  Y  e.  CC )
8079, 70expcld 12006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( Y ^ m )  e.  CC )
8178, 80mulcld 9404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m
) )  e.  CC )
8281abscld 12920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m ) ) )  e.  RR )
83 1red 9399 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  1  e.  RR )
8420ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  X  e.  CC )
8584abscld 12920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
8685, 70reexpcld 12023 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  X ) ^
m )  e.  RR )
8784absge0d 12928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
8885, 70, 87expge0d 12024 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  ( ( abs `  X
) ^ m ) )
89 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 )
90 fveq2 5689 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  ( A `  k )  =  ( A `  m ) )
91 oveq2 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  ( Y ^ k )  =  ( Y ^ m
) )
9290, 91oveq12d 6107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) )  =  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )
9392fveq2d 5693 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( Y ^ k
) ) )  =  ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( Y ^ m ) ) ) )
9493breq1d 4300 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1  <->  ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )  <  1 ) )
9594rspccva 3070 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^
k ) ) )  <  1  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m ) ) )  <  1 )
9689, 95sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m ) ) )  <  1 )
97 1re 9383 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
98 ltle 9461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( Y ^ m ) ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( Y ^ m ) ) )  <  1  -> 
( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( Y ^ m ) ) )  <_  1 ) )
9982, 97, 98sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )  <  1  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m ) ) )  <_  1 ) )
10096, 99mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m ) ) )  <_  1 )
10182, 83, 86, 88, 100lemul1ad 10270 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )  x.  ( ( abs `  X
) ^ m ) )  <_  ( 1  x.  ( ( abs `  X ) ^ m
) ) )
10284, 70expcld 12006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( X ^ m )  e.  CC )
10378, 102mulcld 9404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( A `  m )  x.  ( X ^ m
) )  e.  CC )
104103, 80absmuld 12938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) )  x.  ( Y ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) )  x.  ( abs `  ( Y ^ m ) ) ) )
10581, 102absmuld 12938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) )  x.  ( X ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^
m ) ) )  x.  ( abs `  ( X ^ m ) ) ) )
10678, 80, 102mul32d 9577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( A `  m
)  x.  ( Y ^ m ) )  x.  ( X ^
m ) )  =  ( ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) )  x.  ( Y ^ m ) ) )
107106fveq2d 5693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) )  x.  ( X ^ m ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) )  x.  ( Y ^ m ) ) ) )
10884, 70absexpd 12936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( X ^ m
) )  =  ( ( abs `  X
) ^ m ) )
109108oveq2d 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )  x.  ( abs `  ( X ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^
m ) ) )  x.  ( ( abs `  X ) ^ m
) ) )
110105, 107, 1093eqtr3d 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) )  x.  ( Y ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^
m ) ) )  x.  ( ( abs `  X ) ^ m
) ) )
11179, 70absexpd 12936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( Y ^ m
) )  =  ( ( abs `  Y
) ^ m ) )
112111oveq2d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) ) )  x.  ( abs `  ( Y ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) )  x.  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) )
113104, 110, 1123eqtr3d 2481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )  x.  ( ( abs `  X
) ^ m ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) )  x.  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) )
11486recnd 9410 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  X ) ^
m )  e.  CC )
115114mulid2d 9402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( 1  x.  ( ( abs `  X ) ^ m
) )  =  ( ( abs `  X
) ^ m ) )
116101, 113, 1153brtr3d 4319 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) ) )  x.  ( ( abs `  Y
) ^ m ) )  <_  ( ( abs `  X ) ^
m ) )
117103abscld 12920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^ m ) ) )  e.  RR )
11824adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  Y )  e.  RR )
119118, 70reexpcld 12023 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  Y ) ^
m )  e.  RR )
120 eluzelz 10868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  m  e.  ZZ )
121120adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  m  e.  ZZ )
12230ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <  ( abs `  Y ) )
123 expgt0 11895 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  Y
)  e.  RR  /\  m  e.  ZZ  /\  0  <  ( abs `  Y
) )  ->  0  <  ( ( abs `  Y
) ^ m ) )
124118, 121, 122, 123syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <  ( ( abs `  Y
) ^ m ) )
125 lemuldiv 10209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  X
) ^ m )  e.  RR  /\  (
( ( abs `  Y
) ^ m )  e.  RR  /\  0  <  ( ( abs `  Y
) ^ m ) ) )  ->  (
( ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )  x.  ( ( abs `  Y ) ^ m ) )  <_  ( ( abs `  X ) ^ m
)  <->  ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )  <_  ( (
( abs `  X
) ^ m )  /  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) ) )
126117, 86, 119, 124, 125syl112anc 1222 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )  x.  ( ( abs `  Y ) ^ m ) )  <_  ( ( abs `  X ) ^ m
)  <->  ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )  <_  ( (
( abs `  X
) ^ m )  /  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) ) )
127116, 126mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^ m ) ) )  <_  ( (
( abs `  X
) ^ m )  /  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) )
1286pserval2 21874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  X ) `  m
)  =  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) )
12984, 70, 128syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( G `  X ) `  m )  =  ( ( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )
130129fveq2d 5693 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) )  =  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) ) )
13122recnd 9410 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( abs `  X )  e.  CC )
132131adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  X )  e.  CC )
13324recnd 9410 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( abs `  Y )  e.  CC )
134133adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  Y )  e.  CC )
13531ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  Y )  =/=  0
)
136132, 134, 135, 70expdivd 12020 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m )  =  ( ( ( abs `  X
) ^ m )  /  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) )
137127, 130, 1363brtr4d 4320 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) )  <_  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) )
13872, 74, 75, 76, 137lemul2ad 10271 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) )  <_  (
m  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) ) )
13975, 72remulcld 9412 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) )  e.  RR )
14071absge0d 12928 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  ( abs `  ( ( G `  X ) `
 m ) ) )
14175, 72, 76, 140mulge0d 9914 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) ) ) )
142139, 141absidd 12907 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) ) ) )  =  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) ) )
14375, 74remulcld 9412 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ m ) )  e.  RR )
144143recnd 9410 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ m ) )  e.  CC )
145144mulid2d 9402 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( 1  x.  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ m ) ) )  =  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ m
) ) )
146138, 142, 1453brtr4d 4320 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) ) ) )  <_  ( 1  x.  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ m ) ) ) )
147 ovex 6114 . . . . . 6  |-  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) )  e.  _V
14846fvmpt2 5779 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) ) )  e.  _V )  -> 
( H `  m
)  =  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) ) )
14970, 147, 148sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( H `  m )  =  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) ) ) )
150149fveq2d 5693 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( H `  m
) )  =  ( abs `  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) ) ) )
151 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  i  =  m )
152 oveq2 6097 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i )  =  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) )
153151, 152oveq12d 6107 . . . . . . 7  |-  ( i  =  m  ->  (
i  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) )  =  ( m  x.  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) ) )
154 ovex 6114 . . . . . . 7  |-  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ m
) )  e.  _V
155153, 37, 154fvmpt 5772 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) ) `  m )  =  ( m  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) ) )
15670, 155syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) ) `  m )  =  ( m  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) ) )
157156oveq2d 6105 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( 1  x.  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) ) `  m ) )  =  ( 1  x.  (
m  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) ) ) )
158146, 150, 1573brtr4d 4320 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( H `  m
) )  <_  (
1  x.  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) ) `  m ) ) )
1591, 17, 39, 50, 66, 67, 158cvgcmpce 13279 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  seq 0
(  +  ,  H
)  e.  dom  ~~>  )
16016, 159rexlimddv 2843 1  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2604   A.wral 2713   _Vcvv 2970   class class class wbr 4290    e. cmpt 4348   dom cdm 4838   -->wf 5412   ` cfv 5416  (class class class)co 6089   CCcc 9278   RRcr 9279   0cc0 9280   1c1 9281    + caddc 9283    x. cmul 9285    < clt 9416    <_ cle 9417    / cdiv 9991   NN0cn0 10577   ZZcz 10644   ZZ>=cuz 10859   RR+crp 10989    seqcseq 11804   ^cexp 11863   abscabs 12721    ~~> cli 12960
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-addf 9359  ax-mulf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-se 4678  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-isom 5425  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-pm 7215  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-oi 7722  df-card 8107  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-rp 10990  df-ico 11304  df-fz 11436  df-fzo 11547  df-fl 11640  df-seq 11805  df-exp 11864  df-hash 12102  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-limsup 12947  df-clim 12964  df-rlim 12965  df-sum 13162
This theorem is referenced by:  radcnvlem2  21877  radcnvlt1  21881
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