Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvlem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

 Description: Lemma for radcnvlt1 23452, radcnvle 23454. If is a point closer to zero than and the power series converges at , then it converges absolutely at , even if the terms in the sequence are multiplied by . (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g
psergf.x
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,,,   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11217 . . 3
2 0zd 10973 . . 3
3 1rp 11329 . . . 4
43a1i 11 . . 3
5 radcnvlem2.y . . . 4
6 pser.g . . . . 5
76pserval2 23445 . . . 4
85, 7sylan 479 . . 3
9 fvex 5889 . . . . 5
109a1i 11 . . . 4
11 radcnvlem2.c . . . 4
12 radcnv.a . . . . . 6
136, 12, 5psergf 23446 . . . . 5
1413ffvelrnda 6037 . . . 4
151, 2, 10, 11, 14serf0 13824 . . 3
161, 2, 4, 8, 15climi0 13653 . 2
17 simprl 772 . . 3
18 nn0re 10902 . . . . . . 7
1918adantl 473 . . . . . 6
20 psergf.x . . . . . . . . . 10
2120adantr 472 . . . . . . . . 9
2221abscld 13575 . . . . . . . 8
235adantr 472 . . . . . . . . 9
2423abscld 13575 . . . . . . . 8
25 0red 9662 . . . . . . . . . . 11
2620abscld 13575 . . . . . . . . . . 11
275abscld 13575 . . . . . . . . . . 11
2820absge0d 13583 . . . . . . . . . . 11
29 radcnvlem2.a . . . . . . . . . . 11
3025, 26, 27, 28, 29lelttrd 9810 . . . . . . . . . 10
3130gt0ne0d 10199 . . . . . . . . 9
3231adantr 472 . . . . . . . 8
3322, 24, 32redivcld 10457 . . . . . . 7
34 reexpcl 12327 . . . . . . 7
3533, 34sylan 479 . . . . . 6
3619, 35remulcld 9689 . . . . 5
37 eqid 2471 . . . . 5
3836, 37fmptd 6061 . . . 4
3938ffvelrnda 6037 . . 3
40 nn0re 10902 . . . . . . . . 9
4140adantl 473 . . . . . . . 8
426, 12, 20psergf 23446 . . . . . . . . . 10
4342ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9
4443abscld 13575 . . . . . . . 8
4541, 44remulcld 9689 . . . . . . 7
46 radcnvlem1.h . . . . . . 7
4745, 46fmptd 6061 . . . . . 6
4847adantr 472 . . . . 5
4948ffvelrnda 6037 . . . 4
5049recnd 9687 . . 3
5126, 27, 31redivcld 10457 . . . . . 6
5251recnd 9687 . . . . 5
53 divge0 10496 . . . . . . . 8
5426, 28, 27, 30, 53syl22anc 1293 . . . . . . 7
5551, 54absidd 13561 . . . . . 6
5627recnd 9687 . . . . . . . . 9
5756mulid1d 9678 . . . . . . . 8
5829, 57breqtrrd 4422 . . . . . . 7
59 1red 9676 . . . . . . . 8
60 ltdivmul 10502 . . . . . . . 8
6126, 59, 27, 30, 60syl112anc 1296 . . . . . . 7
6258, 61mpbird 240 . . . . . 6
6355, 62eqbrtrd 4416 . . . . 5
6437geomulcvg 14009 . . . . 5
6552, 63, 64syl2anc 673 . . . 4
67 1red 9676 . . 3
6842ad2antrr 740 . . . . . . . 8
69 eluznn0 11251 . . . . . . . . 9
7017, 69sylan 479 . . . . . . . 8
7168, 70ffvelrnd 6038 . . . . . . 7
7271abscld 13575 . . . . . 6
7333adantr 472 . . . . . . 7
7473, 70reexpcld 12471 . . . . . 6
7570nn0red 10950 . . . . . 6
7670nn0ge0d 10952 . . . . . 6
7712ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
7877, 70ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . 12
795ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
8079, 70expcld 12454 . . . . . . . . . . . 12
8178, 80mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11
8281abscld 13575 . . . . . . . . . 10
83 1red 9676 . . . . . . . . . 10
8420ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
8584abscld 13575 . . . . . . . . . . 11
8685, 70reexpcld 12471 . . . . . . . . . 10
8784absge0d 13583 . . . . . . . . . . 11
8885, 70, 87expge0d 12472 . . . . . . . . . 10
89 simprr 774 . . . . . . . . . . . 12
90 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16
91 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9290, 91oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . 15
9392fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14
9493breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13
9594rspccva 3135 . . . . . . . . . . . 12
9689, 95sylan 479 . . . . . . . . . . 11
97 1re 9660 . . . . . . . . . . . 12
98 ltle 9740 . . . . . . . . . . . 12
9982, 97, 98sylancl 675 . . . . . . . . . . 11
10096, 99mpd 15 . . . . . . . . . 10
10182, 83, 86, 88, 100lemul1ad 10568 . . . . . . . . 9
10284, 70expcld 12454 . . . . . . . . . . . 12
10378, 102mulcld 9681 . . . . . . . . . . 11
104103, 80absmuld 13593 . . . . . . . . . 10
10581, 102absmuld 13593 . . . . . . . . . . 11
10678, 80, 102mul32d 9861 . . . . . . . . . . . 12
107106fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11
10884, 70absexpd 13591 . . . . . . . . . . . 12
109108oveq2d 6324 . . . . . . . . . . 11
110105, 107, 1093eqtr3d 2513 . . . . . . . . . 10
11179, 70absexpd 13591 . . . . . . . . . . 11
112111oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10
113104, 110, 1123eqtr3d 2513 . . . . . . . . 9
11486recnd 9687 . . . . . . . . . 10
115114mulid2d 9679 . . . . . . . . 9
116101, 113, 1153brtr3d 4425 . . . . . . . 8
117103abscld 13575 . . . . . . . . 9
11824adantr 472 . . . . . . . . . 10
119118, 70reexpcld 12471 . . . . . . . . 9
120 eluzelz 11192 . . . . . . . . . . 11
121120adantl 473 . . . . . . . . . 10
12230ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
123 expgt0 12343 . . . . . . . . . 10
124118, 121, 122, 123syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
125 lemuldiv 10508 . . . . . . . . 9
126117, 86, 119, 124, 125syl112anc 1296 . . . . . . . 8
127116, 126mpbid 215 . . . . . . 7
1286pserval2 23445 . . . . . . . . 9
12984, 70, 128syl2anc 673 . . . . . . . 8
130129fveq2d 5883 . . . . . . 7
13122recnd 9687 . . . . . . . . 9
132131adantr 472 . . . . . . . 8
13324recnd 9687 . . . . . . . . 9
134133adantr 472 . . . . . . . 8
13531ad2antrr 740 . . . . . . . 8
136132, 134, 135, 70expdivd 12468 . . . . . . 7
137127, 130, 1363brtr4d 4426 . . . . . 6
13872, 74, 75, 76, 137lemul2ad 10569 . . . . 5
13975, 72remulcld 9689 . . . . . 6
14071absge0d 13583 . . . . . . 7
14175, 72, 76, 140mulge0d 10211 . . . . . 6
142139, 141absidd 13561 . . . . 5
14375, 74remulcld 9689 . . . . . . 7
144143recnd 9687 . . . . . 6
145144mulid2d 9679 . . . . 5
146138, 142, 1453brtr4d 4426 . . . 4
147 ovex 6336 . . . . . 6
14846fvmpt2 5972 . . . . . 6
14970, 147, 148sylancl 675 . . . . 5
150149fveq2d 5883 . . . 4
151 id 22 . . . . . . . 8
152 oveq2 6316 . . . . . . . 8
153151, 152oveq12d 6326 . . . . . . 7
154 ovex 6336 . . . . . . 7
155153, 37, 154fvmpt 5963 . . . . . 6
15670, 155syl 17 . . . . 5
157156oveq2d 6324 . . . 4
158146, 150, 1573brtr4d 4426 . . 3
1591, 17, 39, 50, 66, 67, 158cvgcmpce 13955 . 2
16016, 159rexlimddv 2875 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  cvv 3031   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  cc 9555  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cmul 9562   clt 9693   cle 9694   cdiv 10291  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182  crp 11325   cseq 12251  cexp 12310  cabs 13374   cli 13625 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-rp 11326  df-ico 11666  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830 This theorem is referenced by:  radcnvlem2  23448  radcnvlt1  23452
 Copyright terms: Public domain W3C validator