Theorem radcnvlem1 22974

Description: Lemma for radcnvlt1 22979, radcnvle 22981. If X is a point closer to zero than Y and the power series converges at Y, then it converges absolutely at X, even if the terms in the sequence are multiplied by n. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
pser.g	|- G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
radcnv.a	|- ( ph -> A : NN0 --> CC )
psergf.x	|- ( ph -> X e. CC )
radcnvlem2.y	|- ( ph -> Y e. CC )
radcnvlem2.a	|- ( ph -> ( abs ` X ) < ( abs ` Y ) )
radcnvlem2.c	|- ( ph -> seq 0 ( + , ( G ` Y ) ) e. dom ~~> )
radcnvlem1.h	|- H = ( m e. NN0 |-> ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
radcnvlem1	|- ( ph -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )

Distinct variable groups:   m, n, x, A   m, H   ph, m   m, X   m, G   m, Y

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   G( x, n)   H( x, n)   X( x, n)   Y( x, n)

Proof of Theorem radcnvlem1

Dummy variables i k j are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 11116	. . 3 |- NN0 = ( ZZ>= ` 0 )
2		0zd 10872	. . 3 |- ( ph -> 0 e. ZZ )
3		1rp 11225	. . . 4 |- 1 e. RR+
4	3	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> 1 e. RR+ )
5		radcnvlem2.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. CC )
6		pser.g	. . . . 5 |- G = ( x e. CC |-> ( n e. NN0 |-> ( ( A ` n ) x. ( x ^ n ) ) ) )
7	6	pserval2 22972	. . . 4 |- ( ( Y e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( ( G ` Y ) ` k ) = ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) )
8	5, 7	sylan 469	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( G ` Y ) ` k ) = ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) )
9		fvex 5858	. . . . 5 |- ( G ` Y ) e. _V
10	9	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> ( G ` Y ) e. _V )
11		radcnvlem2.c	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( G ` Y ) ) e. dom ~~> )
12		radcnv.a	. . . . . 6 |- ( ph -> A : NN0 --> CC )
13	6, 12, 5	psergf 22973	. . . . 5 |- ( ph -> ( G ` Y ) : NN0 --> CC )
14	13	ffvelrnda 6007	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. NN0 ) -> ( ( G ` Y ) ` k ) e. CC )
15	1, 2, 10, 11, 14	serf0 13585	. . 3 |- ( ph -> ( G ` Y ) ~~> 0 )
16	1, 2, 4, 8, 15	climi0 13417	. 2 |- ( ph -> E. j e. NN0 A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 )
17		simprl 754	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> j e. NN0 )
18		nn0re 10800	. . . . . . 7 |- ( i e. NN0 -> i e. RR )
19	18	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ i e. NN0 ) -> i e. RR )
20		psergf.x	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. CC )
21	20	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> X e. CC )
22	21	abscld 13349	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` X ) e. RR )
23	5	adantr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> Y e. CC )
24	23	abscld 13349	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` Y ) e. RR )
25		0red 9586	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 e. RR )
26	20	abscld 13349	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` X ) e. RR )
27	5	abscld 13349	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` Y ) e. RR )
28	20	absge0d 13357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` X ) )
29		radcnvlem2.a	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( abs ` X ) < ( abs ` Y ) )
30	25, 26, 27, 28, 29	lelttrd 9729	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> 0 < ( abs ` Y ) )
31	30	gt0ne0d 10113	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` Y ) =/= 0 )
32	31	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` Y ) =/= 0 )
33	22, 24, 32	redivcld 10368	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. RR )
34		reexpcl 12165	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. RR /\ i e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) e. RR )
35	33, 34	sylan 469	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) e. RR )
36	19, 35	remulcld 9613	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ i e. NN0 ) -> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) e. RR )
37		eqid 2454	. . . . 5 |- ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) = ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) )
38	36, 37	fmptd 6031	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) : NN0 --> RR )
39	38	ffvelrnda 6007	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ` m ) e. RR )
40		nn0re 10800	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN0 -> m e. RR )
41	40	adantl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> m e. RR )
42	6, 12, 20	psergf 22973	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( G ` X ) : NN0 --> CC )
43	42	ffvelrnda 6007	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( ( G ` X ) ` m ) e. CC )
44	43	abscld 13349	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) e. RR )
45	41, 44	remulcld 9613	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN0 ) -> ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) e. RR )
46		radcnvlem1.h	. . . . . . 7 |- H = ( m e. NN0 |-> ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )
47	45, 46	fmptd 6031	. . . . . 6 |- ( ph -> H : NN0 --> RR )
48	47	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> H : NN0 --> RR )
49	48	ffvelrnda 6007	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( H ` m ) e. RR )
50	49	recnd 9611	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. NN0 ) -> ( H ` m ) e. CC )
51	26, 27, 31	redivcld 10368	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. RR )
52	51	recnd 9611	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. CC )
53		divge0 10407	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` X ) ) /\ ( ( abs ` Y ) e. RR /\ 0 < ( abs ` Y ) ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) )
54	26, 28, 27, 30, 53	syl22anc 1227	. . . . . . 7 |- ( ph -> 0 <_ ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) )
55	51, 54	absidd 13336	. . . . . 6 |- ( ph -> ( abs ` ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ) = ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) )
56	27	recnd 9611	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( abs ` Y ) e. CC )
57	56	mulid1d 9602	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( abs ` Y ) x. 1 ) = ( abs ` Y ) )
58	29, 57	breqtrrd 4465	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( abs ` X ) < ( ( abs ` Y ) x. 1 ) )
59		1red 9600	. . . . . . . 8 |- ( ph -> 1 e. RR )
60		ltdivmul 10413	. . . . . . . 8 |- ( ( ( abs ` X ) e. RR /\ 1 e. RR /\ ( ( abs ` Y ) e. RR /\ 0 < ( abs ` Y ) ) ) -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) < 1 <-> ( abs ` X ) < ( ( abs ` Y ) x. 1 ) ) )
61	26, 59, 27, 30, 60	syl112anc 1230	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) < 1 <-> ( abs ` X ) < ( ( abs ` Y ) x. 1 ) ) )
62	58, 61	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) < 1 )
63	55, 62	eqbrtrd 4459	. . . . 5 |- ( ph -> ( abs ` ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ) < 1 )
64	37	geomulcvg 13767	. . . . 5 |- ( ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. CC /\ ( abs ` ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ) < 1 ) -> seq 0 ( + , ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ) e. dom ~~> )
65	52, 63, 64	syl2anc 659	. . . 4 |- ( ph -> seq 0 ( + , ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ) e. dom ~~> )
66	65	adantr 463	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> seq 0 ( + , ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ) e. dom ~~> )
67		1red 9600	. . 3 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> 1 e. RR )
68	42	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( G ` X ) : NN0 --> CC )
69		eluznn0 11152	. . . . . . . . 9 |- ( ( j e. NN0 /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. NN0 )
70	17, 69	sylan 469	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. NN0 )
71	68, 70	ffvelrnd 6008	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` X ) ` m ) e. CC )
72	71	abscld 13349	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) e. RR )
73	33	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) e. RR )
74	73, 70	reexpcld 12309	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) e. RR )
75	70	nn0red 10849	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. RR )
76	70	nn0ge0d 10851	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ m )
77	12	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> A : NN0 --> CC )
78	77, 70	ffvelrnd 6008	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( A ` m ) e. CC )
79	5	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> Y e. CC )
80	79, 70	expcld 12292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( Y ^ m ) e. CC )
81	78, 80	mulcld 9605	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) e. CC )
82	81	abscld 13349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) e. RR )
83		1red 9600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 1 e. RR )
84	20	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> X e. CC )
85	84	abscld 13349	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` X ) e. RR )
86	85, 70	reexpcld 12309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` X ) ^ m ) e. RR )
87	84	absge0d 13357	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ ( abs ` X ) )
88	85, 70, 87	expge0d 12310	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ ( ( abs ` X ) ^ m ) )
89		simprr 755	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 )
90		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( A ` k ) = ( A ` m ) )
91		oveq2 6278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k = m -> ( Y ^ k ) = ( Y ^ m ) )
92	90, 91	oveq12d 6288	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( k = m -> ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) = ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) )
93	92	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( k = m -> ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) = ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) )
94	93	breq1d 4449	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k = m -> ( ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 <-> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) < 1 ) )
95	94	rspccva 3206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) < 1 )
96	89, 95	sylan 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) < 1 )
97		1re 9584	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. RR
98		ltle 9662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) e. RR /\ 1 e. RR ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) <_ 1 ) )
99	82, 97, 98	sylancl 660	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) < 1 -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) <_ 1 ) )
100	96, 99	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) <_ 1 )
101	82, 83, 86, 88, 100	lemul1ad 10480	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) <_ ( 1 x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) )
102	84, 70	expcld 12292	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( X ^ m ) e. CC )
103	78, 102	mulcld 9605	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) e. CC )
104	103, 80	absmuld 13367	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) x. ( Y ^ m ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( abs ` ( Y ^ m ) ) ) )
105	81, 102	absmuld 13367	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) x. ( X ^ m ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( abs ` ( X ^ m ) ) ) )
106	78, 80, 102	mul32d 9779	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) x. ( X ^ m ) ) = ( ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) x. ( Y ^ m ) ) )
107	106	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) x. ( X ^ m ) ) ) = ( abs ` ( ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) x. ( Y ^ m ) ) ) )
108	84, 70	absexpd 13365	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( X ^ m ) ) = ( ( abs ` X ) ^ m ) )
109	108	oveq2d 6286	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( abs ` ( X ^ m ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) )
110	105, 107, 109	3eqtr3d 2503	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) x. ( Y ^ m ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) )
111	79, 70	absexpd 13365	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( Y ^ m ) ) = ( ( abs ` Y ) ^ m ) )
112	111	oveq2d 6286	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( abs ` ( Y ^ m ) ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) )
113	104, 110, 112	3eqtr3d 2503	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( Y ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) = ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) )
114	86	recnd 9611	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` X ) ^ m ) e. CC )
115	114	mulid2d 9603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 1 x. ( ( abs ` X ) ^ m ) ) = ( ( abs ` X ) ^ m ) )
116	101, 113, 115	3brtr3d 4468	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) <_ ( ( abs ` X ) ^ m ) )
117	103	abscld 13349	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) e. RR )
118	24	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` Y ) e. RR )
119	118, 70	reexpcld 12309	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( abs ` Y ) ^ m ) e. RR )
120		eluzelz 11091	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. ( ZZ>= ` j ) -> m e. ZZ )
121	120	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> m e. ZZ )
122	30	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 < ( abs ` Y ) )
123		expgt0 12181	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( abs ` Y ) e. RR /\ m e. ZZ /\ 0 < ( abs ` Y ) ) -> 0 < ( ( abs ` Y ) ^ m ) )
124	118, 121, 122, 123	syl3anc 1226	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 < ( ( abs ` Y ) ^ m ) )
125		lemuldiv 10419	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) e. RR /\ ( ( abs ` X ) ^ m ) e. RR /\ ( ( ( abs ` Y ) ^ m ) e. RR /\ 0 < ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) <_ ( ( abs ` X ) ^ m ) <-> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) <_ ( ( ( abs ` X ) ^ m ) / ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) ) )
126	117, 86, 119, 124, 125	syl112anc 1230	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) x. ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) <_ ( ( abs ` X ) ^ m ) <-> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) <_ ( ( ( abs ` X ) ^ m ) / ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) ) )
127	116, 126	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) <_ ( ( ( abs ` X ) ^ m ) / ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) )
128	6	pserval2 22972	. . . . . . . . 9 |- ( ( X e. CC /\ m e. NN0 ) -> ( ( G ` X ) ` m ) = ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) )
129	84, 70, 128	syl2anc 659	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( G ` X ) ` m ) = ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) )
130	129	fveq2d 5852	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) = ( abs ` ( ( A ` m ) x. ( X ^ m ) ) ) )
131	22	recnd 9611	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` X ) e. CC )
132	131	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` X ) e. CC )
133	24	recnd 9611	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> ( abs ` Y ) e. CC )
134	133	adantr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` Y ) e. CC )
135	31	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` Y ) =/= 0 )
136	132, 134, 135, 70	expdivd 12306	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) = ( ( ( abs ` X ) ^ m ) / ( ( abs ` Y ) ^ m ) ) )
137	127, 130, 136	3brtr4d 4469	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) <_ ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) )
138	72, 74, 75, 76, 137	lemul2ad 10481	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) <_ ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) )
139	75, 72	remulcld 9613	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) e. RR )
140	71	absge0d 13357	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) )
141	75, 72, 76, 140	mulge0d 10125	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> 0 <_ ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )
142	139, 141	absidd 13336	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) ) = ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )
143	75, 74	remulcld 9613	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) e. RR )
144	143	recnd 9611	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) e. CC )
145	144	mulid2d 9603	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 1 x. ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) ) = ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) )
146	138, 142, 145	3brtr4d 4469	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) ) <_ ( 1 x. ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) ) )
147		ovex 6298	. . . . . 6 |- ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) e. _V
148	46	fvmpt2 5939	. . . . . 6 |- ( ( m e. NN0 /\ ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) e. _V ) -> ( H ` m ) = ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )
149	70, 147, 148	sylancl 660	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( H ` m ) = ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) )
150	149	fveq2d 5852	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( H ` m ) ) = ( abs ` ( m x. ( abs ` ( ( G ` X ) ` m ) ) ) ) )
151		id 22	. . . . . . . 8 |- ( i = m -> i = m )
152		oveq2 6278	. . . . . . . 8 |- ( i = m -> ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) = ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) )
153	151, 152	oveq12d 6288	. . . . . . 7 |- ( i = m -> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) = ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) )
154		ovex 6298	. . . . . . 7 |- ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) e. _V
155	153, 37, 154	fvmpt 5931	. . . . . 6 |- ( m e. NN0 -> ( ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ` m ) = ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) )
156	70, 155	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ` m ) = ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) )
157	156	oveq2d 6286	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( 1 x. ( ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ` m ) ) = ( 1 x. ( m x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ m ) ) ) )
158	146, 150, 157	3brtr4d 4469	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) /\ m e. ( ZZ>= ` j ) ) -> ( abs ` ( H ` m ) ) <_ ( 1 x. ( ( i e. NN0 |-> ( i x. ( ( ( abs ` X ) / ( abs ` Y ) ) ^ i ) ) ) ` m ) ) )
159	1, 17, 39, 50, 66, 67, 158	cvgcmpce 13714	. 2 |- ( ( ph /\ ( j e. NN0 /\ A. k e. ( ZZ>= ` j ) ( abs ` ( ( A ` k ) x. ( Y ^ k ) ) ) < 1 ) ) -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )
160	16, 159	rexlimddv 2950	1 |- ( ph -> seq 0 ( + , H ) e. dom ~~> )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   =/= wne 2649   A.wral 2804   _Vcvv 3106   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482   + caddc 9484   x. cmul 9486   < clt 9617   <_ cle 9618   / cdiv 10202   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11221   seqcseq 12089   ^cexp 12148   abscabs 13149   ~~> cli 13389

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-rp 11222  df-ico 11538  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591

This theorem is referenced by:  radcnvlem2  22975  radcnvlt1  22979