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Theorem radcnvlem1 22570
Description: Lemma for radcnvlt1 22575, radcnvle 22577. If  X is a point closer to zero than  Y and the power series converges at 
Y, then it converges absolutely at 
X, even if the terms in the sequence are multiplied by  n. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
radcnv.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
psergf.x  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
radcnvlem2.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
radcnvlem2.a  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  ( abs `  Y ) )
radcnvlem2.c  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( G `  Y ) )  e. 
dom 
~~>  )
radcnvlem1.h  |-  H  =  ( m  e.  NN0  |->  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
radcnvlem1  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  e. 
dom 
~~>  )
Distinct variable groups:    m, n, x, A    m, H    ph, m    m, X    m, G    m, Y
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    G( x, n)    H( x, n)    X( x, n)    Y( x, n)

Proof of Theorem radcnvlem1
Dummy variables  i 
k  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 11116 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
2 0zd 10876 . . 3  |-  ( ph  ->  0  e.  ZZ )
3 1rp 11224 . . . 4  |-  1  e.  RR+
43a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  RR+ )
5 radcnvlem2.y . . . 4  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
6 pser.g . . . . 5  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
76pserval2 22568 . . . 4  |-  ( ( Y  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  Y ) `  k
)  =  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^
k ) ) )
85, 7sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  Y ) `  k )  =  ( ( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )
9 fvex 5876 . . . . 5  |-  ( G `
 Y )  e. 
_V
109a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
)  e.  _V )
11 radcnvlem2.c . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( G `  Y ) )  e. 
dom 
~~>  )
12 radcnv.a . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
136, 12, 5psergf 22569 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
) : NN0 --> CC )
1413ffvelrnda 6021 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  Y ) `  k )  e.  CC )
151, 2, 10, 11, 14serf0 13466 . . 3  |-  ( ph  ->  ( G `  Y
)  ~~>  0 )
161, 2, 4, 8, 15climi0 13298 . 2  |-  ( ph  ->  E. j  e.  NN0  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 )
17 simprl 755 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  j  e.  NN0 )
18 nn0re 10804 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  NN0  ->  i  e.  RR )
1918adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  i  e. 
NN0 )  ->  i  e.  RR )
20 psergf.x . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
2120adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  X  e.  CC )
2221abscld 13230 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
235adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  Y  e.  CC )
2423abscld 13230 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( abs `  Y )  e.  RR )
25 0red 9597 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
2620abscld 13230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  RR )
275abscld 13230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  e.  RR )
2820absge0d 13238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
29 radcnvlem2.a . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  ( abs `  Y ) )
3025, 26, 27, 28, 29lelttrd 9739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( abs `  Y ) )
3130gt0ne0d 10117 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  =/=  0 )
3231adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( abs `  Y )  =/=  0
)
3322, 24, 32redivcld 10372 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( ( abs `  X )  / 
( abs `  Y
) )  e.  RR )
34 reexpcl 12151 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) )  e.  RR  /\  i  e. 
NN0 )  ->  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i )  e.  RR )
3533, 34sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  i  e. 
NN0 )  ->  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i )  e.  RR )
3619, 35remulcld 9624 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  i  e. 
NN0 )  ->  (
i  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) )  e.  RR )
37 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) )  =  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) ) )
3836, 37fmptd 6045 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ i ) ) ) : NN0 --> RR )
3938ffvelrnda 6021 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e. 
NN0 )  ->  (
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) ) ) `
 m )  e.  RR )
40 nn0re 10804 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN0  ->  m  e.  RR )
4140adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  m  e.  RR )
426, 12, 20psergf 22569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( G `  X
) : NN0 --> CC )
4342ffvelrnda 6021 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( ( G `  X ) `  m )  e.  CC )
4443abscld 13230 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) )  e.  RR )
4541, 44remulcld 9624 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN0 )  ->  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) )  e.  RR )
46 radcnvlem1.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( m  e.  NN0  |->  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) ) ) )
4745, 46fmptd 6045 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  H : NN0 --> RR )
4847adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  H : NN0
--> RR )
4948ffvelrnda 6021 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e. 
NN0 )  ->  ( H `  m )  e.  RR )
5049recnd 9622 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e. 
NN0 )  ->  ( H `  m )  e.  CC )
5126, 27, 31redivcld 10372 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) )  e.  RR )
5251recnd 9622 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) )  e.  CC )
53 divge0 10411 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  X
) )  /\  (
( abs `  Y
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  Y
) ) )  -> 
0  <_  ( ( abs `  X )  / 
( abs `  Y
) ) )
5426, 28, 27, 30, 53syl22anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( abs `  X )  / 
( abs `  Y
) ) )
5551, 54absidd 13217 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) )  =  ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) )
5627recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  e.  CC )
5756mulid1d 9613 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  x.  1 )  =  ( abs `  Y
) )
5829, 57breqtrrd 4473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  <  ( ( abs `  Y )  x.  1 ) )
59 1red 9611 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
60 ltdivmul 10417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  X
)  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( abs `  Y
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  Y
) ) )  -> 
( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) )  <  1  <->  ( abs `  X )  <  (
( abs `  Y
)  x.  1 ) ) )
6126, 59, 27, 30, 60syl112anc 1232 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) )  <  1  <->  ( abs `  X )  <  (
( abs `  Y
)  x.  1 ) ) )
6258, 61mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) )  <  1 )
6355, 62eqbrtrd 4467 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) )  <  1 )
6437geomulcvg 13648 . . . . 5  |-  ( ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) )  e.  CC  /\  ( abs `  ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) )  <  1 )  ->  seq 0 (  +  , 
( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
6552, 63, 64syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  ( i  e. 
NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ i ) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
6665adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  seq 0
(  +  ,  ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) ) )  e.  dom  ~~>  )
67 1red 9611 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  1  e.  RR )
6842ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( G `  X ) : NN0 --> CC )
69 eluznn0 11151 . . . . . . . . 9  |-  ( ( j  e.  NN0  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j ) )  ->  m  e.  NN0 )
7017, 69sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  m  e.  NN0 )
7168, 70ffvelrnd 6022 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( G `  X ) `  m )  e.  CC )
7271abscld 13230 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) )  e.  RR )
7333adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  X )  / 
( abs `  Y
) )  e.  RR )
7473, 70reexpcld 12295 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m )  e.  RR )
7570nn0red 10853 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  m  e.  RR )
7670nn0ge0d 10855 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  m )
7712ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  A : NN0
--> CC )
7877, 70ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( A `  m )  e.  CC )
795ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  Y  e.  CC )
8079, 70expcld 12278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( Y ^ m )  e.  CC )
8178, 80mulcld 9616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m
) )  e.  CC )
8281abscld 13230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m ) ) )  e.  RR )
83 1red 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  1  e.  RR )
8420ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  X  e.  CC )
8584abscld 13230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  X )  e.  RR )
8685, 70reexpcld 12295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  X ) ^
m )  e.  RR )
8784absge0d 13238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  ( abs `  X ) )
8885, 70, 87expge0d 12296 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  ( ( abs `  X
) ^ m ) )
89 simprr 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 )
90 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  ( A `  k )  =  ( A `  m ) )
91 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  m  ->  ( Y ^ k )  =  ( Y ^ m
) )
9290, 91oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  m  ->  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) )  =  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )
9392fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  m  ->  ( abs `  ( ( A `
 k )  x.  ( Y ^ k
) ) )  =  ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( Y ^ m ) ) ) )
9493breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  m  ->  (
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1  <->  ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )  <  1 ) )
9594rspccva 3213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^
k ) ) )  <  1  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m ) ) )  <  1 )
9689, 95sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m ) ) )  <  1 )
97 1re 9595 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  RR
98 ltle 9673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( Y ^ m ) ) )  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( Y ^ m ) ) )  <  1  -> 
( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( Y ^ m ) ) )  <_  1 ) )
9982, 97, 98sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )  <  1  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m ) ) )  <_  1 ) )
10096, 99mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^ m ) ) )  <_  1 )
10182, 83, 86, 88, 100lemul1ad 10485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )  x.  ( ( abs `  X
) ^ m ) )  <_  ( 1  x.  ( ( abs `  X ) ^ m
) ) )
10284, 70expcld 12278 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( X ^ m )  e.  CC )
10378, 102mulcld 9616 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( A `  m )  x.  ( X ^ m
) )  e.  CC )
104103, 80absmuld 13248 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) )  x.  ( Y ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) )  x.  ( abs `  ( Y ^ m ) ) ) )
10581, 102absmuld 13248 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) )  x.  ( X ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^
m ) ) )  x.  ( abs `  ( X ^ m ) ) ) )
10678, 80, 102mul32d 9789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( A `  m
)  x.  ( Y ^ m ) )  x.  ( X ^
m ) )  =  ( ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) )  x.  ( Y ^ m ) ) )
107106fveq2d 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) )  x.  ( X ^ m ) ) )  =  ( abs `  ( ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) )  x.  ( Y ^ m ) ) ) )
10884, 70absexpd 13246 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( X ^ m
) )  =  ( ( abs `  X
) ^ m ) )
109108oveq2d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )  x.  ( abs `  ( X ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^
m ) ) )  x.  ( ( abs `  X ) ^ m
) ) )
110105, 107, 1093eqtr3d 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) )  x.  ( Y ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( Y ^
m ) ) )  x.  ( ( abs `  X ) ^ m
) ) )
11179, 70absexpd 13246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( Y ^ m
) )  =  ( ( abs `  Y
) ^ m ) )
112111oveq2d 6300 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) ) )  x.  ( abs `  ( Y ^ m ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) )  x.  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) )
113104, 110, 1123eqtr3d 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( Y ^ m
) ) )  x.  ( ( abs `  X
) ^ m ) )  =  ( ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) )  x.  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) )
11486recnd 9622 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  X ) ^
m )  e.  CC )
115114mulid2d 9614 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( 1  x.  ( ( abs `  X ) ^ m
) )  =  ( ( abs `  X
) ^ m ) )
116101, 113, 1153brtr3d 4476 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  ( ( A `
 m )  x.  ( X ^ m
) ) )  x.  ( ( abs `  Y
) ^ m ) )  <_  ( ( abs `  X ) ^
m ) )
117103abscld 13230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^ m ) ) )  e.  RR )
11824adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  Y )  e.  RR )
119118, 70reexpcld 12295 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( abs `  Y ) ^
m )  e.  RR )
120 eluzelz 11091 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  m  e.  ZZ )
121120adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  m  e.  ZZ )
12230ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <  ( abs `  Y ) )
123 expgt0 12167 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( abs `  Y
)  e.  RR  /\  m  e.  ZZ  /\  0  <  ( abs `  Y
) )  ->  0  <  ( ( abs `  Y
) ^ m ) )
124118, 121, 122, 123syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <  ( ( abs `  Y
) ^ m ) )
125 lemuldiv 10424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )  e.  RR  /\  ( ( abs `  X
) ^ m )  e.  RR  /\  (
( ( abs `  Y
) ^ m )  e.  RR  /\  0  <  ( ( abs `  Y
) ^ m ) ) )  ->  (
( ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )  x.  ( ( abs `  Y ) ^ m ) )  <_  ( ( abs `  X ) ^ m
)  <->  ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )  <_  ( (
( abs `  X
) ^ m )  /  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) ) )
126117, 86, 119, 124, 125syl112anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )  x.  ( ( abs `  Y ) ^ m ) )  <_  ( ( abs `  X ) ^ m
)  <->  ( abs `  (
( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )  <_  ( (
( abs `  X
) ^ m )  /  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) ) )
127116, 126mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^ m ) ) )  <_  ( (
( abs `  X
) ^ m )  /  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) )
1286pserval2 22568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  e.  CC  /\  m  e.  NN0 )  -> 
( ( G `  X ) `  m
)  =  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) )
12984, 70, 128syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( ( G `  X ) `  m )  =  ( ( A `  m
)  x.  ( X ^ m ) ) )
130129fveq2d 5870 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) )  =  ( abs `  ( ( A `  m )  x.  ( X ^
m ) ) ) )
13122recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( abs `  X )  e.  CC )
132131adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  X )  e.  CC )
13324recnd 9622 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  ( abs `  Y )  e.  CC )
134133adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  Y )  e.  CC )
13531ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  Y )  =/=  0
)
136132, 134, 135, 70expdivd 12292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m )  =  ( ( ( abs `  X
) ^ m )  /  ( ( abs `  Y ) ^ m
) ) )
137127, 130, 1363brtr4d 4477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) )  <_  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) )
13872, 74, 75, 76, 137lemul2ad 10486 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) )  <_  (
m  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) ) )
13975, 72remulcld 9624 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) )  e.  RR )
14071absge0d 13238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  ( abs `  ( ( G `  X ) `
 m ) ) )
14175, 72, 76, 140mulge0d 10129 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  0  <_  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) ) ) )
142139, 141absidd 13217 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) ) ) )  =  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) ) )
14375, 74remulcld 9624 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ m ) )  e.  RR )
144143recnd 9622 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ m ) )  e.  CC )
145144mulid2d 9614 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( 1  x.  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ m ) ) )  =  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ m
) ) )
146138, 142, 1453brtr4d 4477 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) ) ) )  <_  ( 1  x.  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y ) ) ^ m ) ) ) )
147 ovex 6309 . . . . . 6  |-  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) )  e.  _V
14846fvmpt2 5957 . . . . . 6  |-  ( ( m  e.  NN0  /\  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `
 X ) `  m ) ) )  e.  _V )  -> 
( H `  m
)  =  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) ) )
14970, 147, 148sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( H `  m )  =  ( m  x.  ( abs `  ( ( G `  X ) `  m
) ) ) )
150149fveq2d 5870 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( H `  m
) )  =  ( abs `  ( m  x.  ( abs `  (
( G `  X
) `  m )
) ) ) )
151 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  i  =  m )
152 oveq2 6292 . . . . . . . 8  |-  ( i  =  m  ->  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i )  =  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) )
153151, 152oveq12d 6302 . . . . . . 7  |-  ( i  =  m  ->  (
i  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
i ) )  =  ( m  x.  (
( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) ) )
154 ovex 6309 . . . . . . 7  |-  ( m  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ m
) )  e.  _V
155153, 37, 154fvmpt 5950 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN0  ->  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) ) `  m )  =  ( m  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) ) )
15670, 155syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( (
i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) ) `  m )  =  ( m  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) ) )
157156oveq2d 6300 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( 1  x.  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) ) `  m ) )  =  ( 1  x.  (
m  x.  ( ( ( abs `  X
)  /  ( abs `  Y ) ) ^
m ) ) ) )
158146, 150, 1573brtr4d 4477 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  (
j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( abs `  ( ( A `  k )  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  /\  m  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( abs `  ( H `  m
) )  <_  (
1  x.  ( ( i  e.  NN0  |->  ( i  x.  ( ( ( abs `  X )  /  ( abs `  Y
) ) ^ i
) ) ) `  m ) ) )
1591, 17, 39, 50, 66, 67, 158cvgcmpce 13595 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( j  e.  NN0  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( abs `  (
( A `  k
)  x.  ( Y ^ k ) ) )  <  1 ) )  ->  seq 0
(  +  ,  H
)  e.  dom  ~~>  )
16016, 159rexlimddv 2959 1  |-  ( ph  ->  seq 0 (  +  ,  H )  e. 
dom 
~~>  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   1c1 9493    + caddc 9495    x. cmul 9497    < clt 9628    <_ cle 9629    / cdiv 10206   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ZZ>=cuz 11082   RR+crp 11220    seqcseq 12075   ^cexp 12134   abscabs 13030    ~~> cli 13270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-rp 11221  df-ico 11535  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-limsup 13257  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472
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