Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvle Unicode version

 Description: If is a convergent point of the infinite series, then is within the closed disk of radius centered at zero. Or, by contraposition, the series divergers at any point strictly more than from the origin. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   (,,)   (,)   (,,)

Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 448 . . . 4
2 iccssxr 10949 . . . . . . . 8
3 pser.g . . . . . . . . 9
4 radcnv.a . . . . . . . . 9
5 radcnv.r . . . . . . . . 9
63, 4, 5radcnvcl 20286 . . . . . . . 8
72, 6sseldi 3306 . . . . . . 7
87adantr 452 . . . . . 6
9 radcnvle.x . . . . . . . 8
109abscld 12193 . . . . . . 7
1110adantr 452 . . . . . 6
12 0xr 9087 . . . . . . . . . . 11
13 pnfxr 10669 . . . . . . . . . . 11
14 elicc1 10916 . . . . . . . . . . 11
1512, 13, 14mp2an 654 . . . . . . . . . 10
166, 15sylib 189 . . . . . . . . 9
1716simp2d 970 . . . . . . . 8
18 ge0gtmnf 10716 . . . . . . . 8
197, 17, 18syl2anc 643 . . . . . . 7
2019adantr 452 . . . . . 6
21 ressxr 9085 . . . . . . . . . 10
2221, 10sseldi 3306 . . . . . . . . 9
2322adantr 452 . . . . . . . 8
24 xrltle 10698 . . . . . . . 8
258, 23, 24syl2anc 643 . . . . . . 7
261, 25mpd 15 . . . . . 6
27 xrre 10713 . . . . . 6
288, 11, 20, 26, 27syl22anc 1185 . . . . 5
29 avglt1 10161 . . . . 5
3028, 11, 29syl2anc 643 . . . 4
311, 30mpbid 202 . . 3
32 ssrab2 3388 . . . . . . 7
3332, 21sstri 3317 . . . . . 6
3428, 11readdcld 9071 . . . . . . . 8
3534rehalfcld 10170 . . . . . . 7
364adantr 452 . . . . . . . 8
3735recnd 9070 . . . . . . . 8
389adantr 452 . . . . . . . 8
39 0re 9047 . . . . . . . . . . . 12
4039a1i 11 . . . . . . . . . . 11
4117adantr 452 . . . . . . . . . . . 12
4240, 28, 35, 41, 31lelttrd 9184 . . . . . . . . . . 11
4340, 35, 42ltled 9177 . . . . . . . . . 10
4435, 43absidd 12180 . . . . . . . . 9
45 avglt2 10162 . . . . . . . . . . 11
4628, 11, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
471, 46mpbid 202 . . . . . . . . 9
4844, 47eqbrtrd 4192 . . . . . . . 8
49 radcnvle.a . . . . . . . . 9
5049adantr 452 . . . . . . . 8
513, 36, 37, 38, 48, 50radcnvlem3 20284 . . . . . . 7
52 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10
5352seqeq3d 11286 . . . . . . . . 9
5453eleq1d 2470 . . . . . . . 8
55 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11
5655seqeq3d 11286 . . . . . . . . . 10
5756eleq1d 2470 . . . . . . . . 9
5857cbvrabv 2915 . . . . . . . 8
5954, 58elrab2 3054 . . . . . . 7
6035, 51, 59sylanbrc 646 . . . . . 6
61 supxrub 10859 . . . . . 6
6233, 60, 61sylancr 645 . . . . 5
6362, 5syl6breqr 4212 . . . 4
6435, 28lenltd 9175 . . . 4
6563, 64mpbid 202 . . 3
6631, 65pm2.65da 560 . 2
67 xrlenlt 9099 . . 3
6822, 7, 67syl2anc 643 . 2
6966, 68mpbird 224 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  crab 2670   wss 3280   class class class wbr 4172   cmpt 4226   cdm 4837  wf 5409  cfv 5413  (class class class)co 6040  csup 7403  cc 8944  cr 8945  cc0 8946   caddc 8949   cmul 8951   cpnf 9073   cmnf 9074  cxr 9075   clt 9076   cle 9077   cdiv 9633  c2 10005  cn0 10177  cicc 10875   cseq 11278  cexp 11337  cabs 11994   cli 12233 This theorem is referenced by:  pserdvlem2  20297  abelthlem1  20300  logtayl  20504 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-limsup 12220  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435
 Copyright terms: Public domain W3C validator