MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvcl Structured version   Unicode version

Theorem radcnvcl 22679
Description: The radius of convergence  R of an infinite series is a nonnegative extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
radcnv.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
radcnv.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
Assertion
Ref Expression
radcnvcl  |-  ( ph  ->  R  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    G, r
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    A( r)    R( x, n, r)    G( x, n)

Proof of Theorem radcnvcl
StepHypRef Expression
1 radcnv.r . . 3  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
2 ssrab2 3590 . . . . 5  |-  { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } 
C_  RR
3 ressxr 9649 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
42, 3sstri 3518 . . . 4  |-  { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } 
C_  RR*
5 supxrcl 11518 . . . 4  |-  ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } 
C_  RR*  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( G `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
64, 5mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
71, 6syl5eqel 2559 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
8 pser.g . . . . 5  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
9 radcnv.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
108, 9radcnv0 22678 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } )
11 supxrub 11528 . . . 4  |-  ( ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( G `  r ) )  e. 
dom 
~~>  }  C_  RR*  /\  0  e.  { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( G `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } )  ->  0  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
)
124, 10, 11sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( G `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
1312, 1syl6breqr 4493 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
14 pnfge 11351 . . 3  |-  ( R  e.  RR*  ->  R  <_ +oo )
157, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  R  <_ +oo )
16 0xr 9652 . . 3  |-  0  e.  RR*
17 pnfxr 11333 . . 3  |- +oo  e.  RR*
18 elicc1 11585 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( R  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( R  e.  RR*  /\  0  <_  R  /\  R  <_ +oo )
) )
1916, 17, 18mp2an 672 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( R  e. 
RR*  /\  0  <_  R  /\  R  <_ +oo )
)
207, 13, 15, 19syl3anbrc 1180 1  |-  ( ph  ->  R  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821    C_ wss 3481   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   supcsup 7912   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504    + caddc 9507    x. cmul 9509   +oocpnf 9637   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641   NN0cn0 10807   [,]cicc 11544    seqcseq 12087   ^cexp 12146    ~~> cli 13287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-rp 11233  df-icc 11548  df-fz 11685  df-seq 12088  df-exp 12147  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291
This theorem is referenced by:  radcnvlt1  22680  radcnvle  22682  pserulm  22684  psercnlem2  22686  psercnlem1  22687  psercn  22688  pserdvlem1  22689  pserdvlem2  22690  abelthlem3  22695  abelth  22703  logtayl  22907
  Copyright terms: Public domain W3C validator