MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  radcnvcl Structured version   Unicode version

Theorem radcnvcl 22897
Description: The radius of convergence  R of an infinite series is a nonnegative extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pser.g  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
radcnv.a  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
radcnv.r  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
Assertion
Ref Expression
radcnvcl  |-  ( ph  ->  R  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    G, r
Allowed substitution hints:    ph( x, n, r)    A( r)    R( x, n, r)    G( x, n)

Proof of Theorem radcnvcl
StepHypRef Expression
1 radcnv.r . . 3  |-  R  =  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
2 ssrab2 3499 . . . . 5  |-  { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } 
C_  RR
3 ressxr 9548 . . . . 5  |-  RR  C_  RR*
42, 3sstri 3426 . . . 4  |-  { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } 
C_  RR*
5 supxrcl 11427 . . . 4  |-  ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } 
C_  RR*  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( G `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
64, 5mp1i 12 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
71, 6syl5eqel 2474 . 2  |-  ( ph  ->  R  e.  RR* )
8 pser.g . . . . 5  |-  G  =  ( x  e.  CC  |->  ( n  e.  NN0  |->  ( ( A `  n )  x.  (
x ^ n ) ) ) )
9 radcnv.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A : NN0 --> CC )
108, 9radcnv0 22896 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } )
11 supxrub 11437 . . . 4  |-  ( ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( G `  r ) )  e. 
dom 
~~>  }  C_  RR*  /\  0  e.  { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( G `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } )  ->  0  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  , 
( G `  r
) )  e.  dom  ~~>  } ,  RR* ,  <  )
)
124, 10, 11sylancr 661 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  sup ( { r  e.  RR  |  seq 0 (  +  ,  ( G `  r ) )  e. 
dom 
~~>  } ,  RR* ,  <  ) )
1312, 1syl6breqr 4407 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  R )
14 pnfge 11260 . . 3  |-  ( R  e.  RR*  ->  R  <_ +oo )
157, 14syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  R  <_ +oo )
16 0xr 9551 . . 3  |-  0  e.  RR*
17 pnfxr 11242 . . 3  |- +oo  e.  RR*
18 elicc1 11494 . . 3  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  ( R  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( R  e.  RR*  /\  0  <_  R  /\  R  <_ +oo )
) )
1916, 17, 18mp2an 670 . 2  |-  ( R  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( R  e. 
RR*  /\  0  <_  R  /\  R  <_ +oo )
)
207, 13, 15, 19syl3anbrc 1178 1  |-  ( ph  ->  R  e.  ( 0 [,] +oo ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1826   {crab 2736    C_ wss 3389   class class class wbr 4367    |-> cmpt 4425   dom cdm 4913   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   supcsup 7815   CCcc 9401   RRcr 9402   0cc0 9403    + caddc 9406    x. cmul 9408   +oocpnf 9536   RR*cxr 9538    < clt 9539    <_ cle 9540   NN0cn0 10712   [,]cicc 11453    seqcseq 12010   ^cexp 12069    ~~> cli 13309
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-er 7229  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-icc 11457  df-fz 11594  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313
This theorem is referenced by:  radcnvlt1  22898  radcnvle  22900  pserulm  22902  psercnlem2  22904  psercnlem1  22905  psercn  22906  pserdvlem1  22907  pserdvlem2  22908  abelthlem3  22913  abelth  22921  logtayl  23128
  Copyright terms: Public domain W3C validator