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Theorem rabxfrd 4668
Description: Class builder membership after substituting an expression  A (containing  y) for  x in the class expression  ch. (Contributed by NM, 16-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
rabxfrd.1  |-  F/_ y B
rabxfrd.2  |-  F/_ y C
rabxfrd.3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  A  e.  D )
rabxfrd.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  ch ) )
rabxfrd.5  |-  ( y  =  B  ->  A  =  C )
Assertion
Ref Expression
rabxfrd  |-  ( (
ph  /\  B  e.  D )  ->  ( C  e.  { x  e.  D  |  ps } 
<->  B  e.  { y  e.  D  |  ch } ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, y, D    ph, y    ps, y    ch, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( x)    ch( y)    A( y)    B( x, y)    C( x, y)

Proof of Theorem rabxfrd
StepHypRef Expression
1 rabxfrd.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  A  e.  D )
21ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  ->  A  e.  D ) )
3 ibibr 343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  D  ->  A  e.  D )  <->  ( y  e.  D  -> 
( A  e.  D  <->  y  e.  D ) ) )
42, 3sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  D  ->  ( A  e.  D  <->  y  e.  D ) ) )
54imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( A  e.  D  <->  y  e.  D ) )
65anbi1d 704 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  (
( A  e.  D  /\  ch )  <->  ( y  e.  D  /\  ch )
) )
7 rabxfrd.4 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  ( ps 
<->  ch ) )
87elrab 3261 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  { x  e.  D  |  ps }  <->  ( A  e.  D  /\  ch ) )
9 rabid 3038 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { y  e.  D  |  ch }  <->  ( y  e.  D  /\  ch ) )
106, 8, 93bitr4g 288 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  D )  ->  ( A  e.  { x  e.  D  |  ps } 
<->  y  e.  { y  e.  D  |  ch } ) )
1110rabbidva 3104 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { y  e.  D  |  A  e.  { x  e.  D  |  ps } }  =  {
y  e.  D  | 
y  e.  { y  e.  D  |  ch } } )
1211eleq2d 2537 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  e.  {
y  e.  D  |  A  e.  { x  e.  D  |  ps } }  <->  B  e.  { y  e.  D  |  y  e.  { y  e.  D  |  ch } } ) )
13 rabxfrd.1 . . . . 5  |-  F/_ y B
14 nfcv 2629 . . . . 5  |-  F/_ y D
15 rabxfrd.2 . . . . . 6  |-  F/_ y C
1615nfel1 2645 . . . . 5  |-  F/ y  C  e.  { x  e.  D  |  ps }
17 rabxfrd.5 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  A  =  C )
1817eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( A  e.  { x  e.  D  |  ps } 
<->  C  e.  { x  e.  D  |  ps } ) )
1913, 14, 16, 18elrabf 3259 . . . 4  |-  ( B  e.  { y  e.  D  |  A  e. 
{ x  e.  D  |  ps } }  <->  ( B  e.  D  /\  C  e. 
{ x  e.  D  |  ps } ) )
20 nfrab1 3042 . . . . . 6  |-  F/_ y { y  e.  D  |  ch }
2113, 20nfel 2642 . . . . 5  |-  F/ y  B  e.  { y  e.  D  |  ch }
22 eleq1 2539 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  { y  e.  D  |  ch } 
<->  B  e.  { y  e.  D  |  ch } ) )
2313, 14, 21, 22elrabf 3259 . . . 4  |-  ( B  e.  { y  e.  D  |  y  e. 
{ y  e.  D  |  ch } }  <->  ( B  e.  D  /\  B  e. 
{ y  e.  D  |  ch } ) )
2412, 19, 233bitr3g 287 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  e.  D  /\  C  e. 
{ x  e.  D  |  ps } )  <->  ( B  e.  D  /\  B  e. 
{ y  e.  D  |  ch } ) ) )
25 pm5.32 636 . . 3  |-  ( ( B  e.  D  -> 
( C  e.  {
x  e.  D  |  ps }  <->  B  e.  { y  e.  D  |  ch } ) )  <->  ( ( B  e.  D  /\  C  e.  { x  e.  D  |  ps } )  <->  ( B  e.  D  /\  B  e. 
{ y  e.  D  |  ch } ) ) )
2624, 25sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  e.  D  ->  ( C  e.  {
x  e.  D  |  ps }  <->  B  e.  { y  e.  D  |  ch } ) ) )
2726imp 429 1  |-  ( (
ph  /\  B  e.  D )  ->  ( C  e.  { x  e.  D  |  ps } 
<->  B  e.  { y  e.  D  |  ch } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   F/_wnfc 2615   {crab 2818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ral 2819  df-rab 2823  df-v 3115
This theorem is referenced by:  rabxfr  4669  riotaxfrd  6274
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