MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rabssnn0fi Structured version   Unicode version

Theorem rabssnn0fi 12053
Description: A subset of the nonnegative integers defined by a restricted class abstraction is finite if there is a nonnegative integer so that for all integers greater than this integer the condition of the class abstraction is not fulfilled. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
rabssnn0fi  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
)
Distinct variable groups:    x, s    ph, s
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem rabssnn0fi
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3580 . 2  |-  { x  e.  NN0  |  ph }  C_ 
NN0
2 ssnn0fi 12052 . . 3  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  C_  NN0  ->  ( { x  e.  NN0  | 
ph }  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. y  e.  NN0  ( s  < 
y  ->  y  e/  { x  e.  NN0  |  ph } ) ) )
3 nnel 2807 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e/  { x  e.  NN0  |  ph }  <->  y  e.  { x  e. 
NN0  |  ph } )
4 nfcv 2624 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
y
5 nfcv 2624 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x NN0
6 nfsbc1v 3346 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [. y  /  x ].  -.  ph
76nfn 1844 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  -.  [. y  /  x ].  -.  ph
8 sbceq2a 3338 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  ( [. y  /  x ].  -.  ph  <->  -.  ph ) )
98equcoms 1739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( [. y  /  x ].  -.  ph  <->  -.  ph ) )
109con2bid 329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  -.  [. y  /  x ].  -.  ph )
)
114, 5, 7, 10elrabf 3254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { x  e. 
NN0  |  ph }  <->  ( y  e.  NN0  /\  -.  [. y  /  x ].  -.  ph ) )
1211baib 898 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  e.  { x  e. 
NN0  |  ph }  <->  -.  [. y  /  x ].  -.  ph ) )
133, 12syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( -.  y  e/  { x  e.  NN0  |  ph }  <->  -. 
[. y  /  x ].  -.  ph ) )
1413con4bid 293 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  e/  { x  e. 
NN0  |  ph }  <->  [. y  /  x ].  -.  ph )
)
1514imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( s  <  y  -> 
y  e/  { x  e.  NN0  |  ph }
)  <->  ( s  < 
y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph )
) )
1615ralbiia 2889 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  NN0  ( s  <  y  ->  y  e/  { x  e.  NN0  | 
ph } )  <->  A. y  e.  NN0  ( s  < 
y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph )
)
17 nfv 1678 . . . . . . . 8  |-  F/ x  s  <  y
1817, 6nfim 1862 . . . . . . 7  |-  F/ x
( s  <  y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph )
19 nfv 1678 . . . . . . 7  |-  F/ y ( s  <  x  ->  -.  ph )
20 breq2 4446 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
s  <  y  <->  s  <  x ) )
2120, 8imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( s  <  y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph )  <->  ( s  <  x  ->  -.  ph )
) )
2218, 19, 21cbvral 3079 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  NN0  ( s  <  y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph ) 
<-> 
A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  -.  ph ) )
2316, 22bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  NN0  ( s  <  y  ->  y  e/  { x  e.  NN0  | 
ph } )  <->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
)
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  NN0  | 
ph }  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( A. y  e. 
NN0  ( s  < 
y  ->  y  e/  { x  e.  NN0  |  ph } )  <->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
) )
2524rexbidva 2965 . . 3  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  C_  NN0  ->  ( E. s  e.  NN0  A. y  e.  NN0  (
s  <  y  ->  y  e/  { x  e. 
NN0  |  ph } )  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  -. 
ph ) ) )
262, 25bitrd 253 . 2  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  C_  NN0  ->  ( { x  e.  NN0  | 
ph }  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
) )
271, 26ax-mp 5 1  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1762    e/ wnel 2658   A.wral 2809   E.wrex 2810   {crab 2813   [.wsbc 3326    C_ wss 3471   class class class wbr 4442   Fincfn 7508    < clt 9619   NN0cn0 10786
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0ub  12059  mptnn0fsupp  12061  mptnn0fsuppr  12063  pmatcollpw2lem  19040
  Copyright terms: Public domain W3C validator