MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rabssnn0fi Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rabssnn0fi 12236
Description: A subset of the nonnegative integers defined by a restricted class abstraction is finite if there is a nonnegative integer so that for all integers greater than this integer the condition of the class abstraction is not fulfilled. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
rabssnn0fi  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
)
Distinct variable groups:    x, s    ph, s
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem rabssnn0fi
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3500 . 2  |-  { x  e.  NN0  |  ph }  C_ 
NN0
2 ssnn0fi 12235 . . 3  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  C_  NN0  ->  ( { x  e.  NN0  | 
ph }  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. y  e.  NN0  ( s  < 
y  ->  y  e/  { x  e.  NN0  |  ph } ) ) )
3 nnel 2752 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e/  { x  e.  NN0  |  ph }  <->  y  e.  { x  e. 
NN0  |  ph } )
4 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
y
5 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x NN0
6 nfsbc1v 3275 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [. y  /  x ].  -.  ph
76nfn 2003 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  -.  [. y  /  x ].  -.  ph
8 sbceq2a 3267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  ( [. y  /  x ].  -.  ph  <->  -.  ph ) )
98equcoms 1872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( [. y  /  x ].  -.  ph  <->  -.  ph ) )
109con2bid 336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  -.  [. y  /  x ].  -.  ph )
)
114, 5, 7, 10elrabf 3182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { x  e. 
NN0  |  ph }  <->  ( y  e.  NN0  /\  -.  [. y  /  x ].  -.  ph ) )
1211baib 919 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  e.  { x  e. 
NN0  |  ph }  <->  -.  [. y  /  x ].  -.  ph ) )
133, 12syl5bb 265 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( -.  y  e/  { x  e.  NN0  |  ph }  <->  -. 
[. y  /  x ].  -.  ph ) )
1413con4bid 300 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  e/  { x  e. 
NN0  |  ph }  <->  [. y  /  x ].  -.  ph )
)
1514imbi2d 323 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( s  <  y  -> 
y  e/  { x  e.  NN0  |  ph }
)  <->  ( s  < 
y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph )
) )
1615ralbiia 2822 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  NN0  ( s  <  y  ->  y  e/  { x  e.  NN0  | 
ph } )  <->  A. y  e.  NN0  ( s  < 
y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph )
)
17 nfv 1769 . . . . . . . 8  |-  F/ x  s  <  y
1817, 6nfim 2023 . . . . . . 7  |-  F/ x
( s  <  y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph )
19 nfv 1769 . . . . . . 7  |-  F/ y ( s  <  x  ->  -.  ph )
20 breq2 4399 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
s  <  y  <->  s  <  x ) )
2120, 8imbi12d 327 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( s  <  y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph )  <->  ( s  <  x  ->  -.  ph )
) )
2218, 19, 21cbvral 3001 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  NN0  ( s  <  y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph ) 
<-> 
A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  -.  ph ) )
2316, 22bitri 257 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  NN0  ( s  <  y  ->  y  e/  { x  e.  NN0  | 
ph } )  <->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
)
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  NN0  | 
ph }  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( A. y  e. 
NN0  ( s  < 
y  ->  y  e/  { x  e.  NN0  |  ph } )  <->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
) )
2524rexbidva 2889 . . 3  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  C_  NN0  ->  ( E. s  e.  NN0  A. y  e.  NN0  (
s  <  y  ->  y  e/  { x  e. 
NN0  |  ph } )  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  -. 
ph ) ) )
262, 25bitrd 261 . 2  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  C_  NN0  ->  ( { x  e.  NN0  | 
ph }  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
) )
271, 26ax-mp 5 1  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    e. wcel 1904    e/ wnel 2642   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   [.wsbc 3255    C_ wss 3390   class class class wbr 4395   Fincfn 7587    < clt 9693   NN0cn0 10893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0ub  12245  mptnn0fsupp  12247  mptnn0fsuppr  12249  pmatcollpw2lem  19878
  Copyright terms: Public domain W3C validator