MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rabssnn0fi Structured version   Unicode version

Theorem rabssnn0fi 12136
Description: A subset of the nonnegative integers defined by a restricted class abstraction is finite if there is a nonnegative integer so that for all integers greater than this integer the condition of the class abstraction is not fulfilled. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
rabssnn0fi  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
)
Distinct variable groups:    x, s    ph, s
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem rabssnn0fi
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3524 . 2  |-  { x  e.  NN0  |  ph }  C_ 
NN0
2 ssnn0fi 12135 . . 3  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  C_  NN0  ->  ( { x  e.  NN0  | 
ph }  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. y  e.  NN0  ( s  < 
y  ->  y  e/  { x  e.  NN0  |  ph } ) ) )
3 nnel 2749 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e/  { x  e.  NN0  |  ph }  <->  y  e.  { x  e. 
NN0  |  ph } )
4 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
y
5 nfcv 2564 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x NN0
6 nfsbc1v 3297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [. y  /  x ].  -.  ph
76nfn 1929 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  -.  [. y  /  x ].  -.  ph
8 sbceq2a 3289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  ( [. y  /  x ].  -.  ph  <->  -.  ph ) )
98equcoms 1819 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( [. y  /  x ].  -.  ph  <->  -.  ph ) )
109con2bid 327 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  -.  [. y  /  x ].  -.  ph )
)
114, 5, 7, 10elrabf 3205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { x  e. 
NN0  |  ph }  <->  ( y  e.  NN0  /\  -.  [. y  /  x ].  -.  ph ) )
1211baib 904 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  e.  { x  e. 
NN0  |  ph }  <->  -.  [. y  /  x ].  -.  ph ) )
133, 12syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( -.  y  e/  { x  e.  NN0  |  ph }  <->  -. 
[. y  /  x ].  -.  ph ) )
1413con4bid 291 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  e/  { x  e. 
NN0  |  ph }  <->  [. y  /  x ].  -.  ph )
)
1514imbi2d 314 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( s  <  y  -> 
y  e/  { x  e.  NN0  |  ph }
)  <->  ( s  < 
y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph )
) )
1615ralbiia 2834 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  NN0  ( s  <  y  ->  y  e/  { x  e.  NN0  | 
ph } )  <->  A. y  e.  NN0  ( s  < 
y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph )
)
17 nfv 1728 . . . . . . . 8  |-  F/ x  s  <  y
1817, 6nfim 1948 . . . . . . 7  |-  F/ x
( s  <  y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph )
19 nfv 1728 . . . . . . 7  |-  F/ y ( s  <  x  ->  -.  ph )
20 breq2 4399 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
s  <  y  <->  s  <  x ) )
2120, 8imbi12d 318 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( s  <  y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph )  <->  ( s  <  x  ->  -.  ph )
) )
2218, 19, 21cbvral 3030 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  NN0  ( s  <  y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph ) 
<-> 
A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  -.  ph ) )
2316, 22bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  NN0  ( s  <  y  ->  y  e/  { x  e.  NN0  | 
ph } )  <->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
)
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  NN0  | 
ph }  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( A. y  e. 
NN0  ( s  < 
y  ->  y  e/  { x  e.  NN0  |  ph } )  <->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
) )
2524rexbidva 2915 . . 3  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  C_  NN0  ->  ( E. s  e.  NN0  A. y  e.  NN0  (
s  <  y  ->  y  e/  { x  e. 
NN0  |  ph } )  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  -. 
ph ) ) )
262, 25bitrd 253 . 2  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  C_  NN0  ->  ( { x  e.  NN0  | 
ph }  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
) )
271, 26ax-mp 5 1  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1842    e/ wnel 2599   A.wral 2754   E.wrex 2755   {crab 2758   [.wsbc 3277    C_ wss 3414   class class class wbr 4395   Fincfn 7554    < clt 9658   NN0cn0 10836
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0ub  12145  mptnn0fsupp  12147  mptnn0fsuppr  12149  pmatcollpw2lem  19570
  Copyright terms: Public domain W3C validator