Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rabssnn0fi Structured version   Unicode version

Theorem rabssnn0fi 30745
Description: A subset of the nonnegative integers defined by a restricted class abstraction is finite if there is a nonnegative integer so that for all integers greater than this integer the condition of the class abstraction is not fulfilled. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
rabssnn0fi  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
)
Distinct variable groups:    x, s    ph, s
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem rabssnn0fi
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3436 . 2  |-  { x  e.  NN0  |  ph }  C_ 
NN0
2 ssnn0fi 30744 . . 3  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  C_  NN0  ->  ( { x  e.  NN0  | 
ph }  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. y  e.  NN0  ( s  < 
y  ->  y  e/  { x  e.  NN0  |  ph } ) ) )
3 nnel 2713 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e/  { x  e.  NN0  |  ph }  <->  y  e.  { x  e. 
NN0  |  ph } )
4 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
y
5 nfcv 2578 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x NN0
6 nfsbc1v 3205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [. y  /  x ].  -.  ph
76nfn 1835 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  -.  [. y  /  x ].  -.  ph
8 sbceq2a 3197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  ( [. y  /  x ].  -.  ph  <->  -.  ph ) )
98equcoms 1733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( [. y  /  x ].  -.  ph  <->  -.  ph ) )
109con2bid 329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  -.  [. y  /  x ].  -.  ph )
)
114, 5, 7, 10elrabf 3114 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { x  e. 
NN0  |  ph }  <->  ( y  e.  NN0  /\  -.  [. y  /  x ].  -.  ph ) )
1211baib 896 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  e.  { x  e. 
NN0  |  ph }  <->  -.  [. y  /  x ].  -.  ph ) )
133, 12syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( -.  y  e/  { x  e.  NN0  |  ph }  <->  -. 
[. y  /  x ].  -.  ph ) )
1413con4bid 293 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  e/  { x  e. 
NN0  |  ph }  <->  [. y  /  x ].  -.  ph )
)
1514imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( s  <  y  -> 
y  e/  { x  e.  NN0  |  ph }
)  <->  ( s  < 
y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph )
) )
1615ralbiia 2746 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  NN0  ( s  <  y  ->  y  e/  { x  e.  NN0  | 
ph } )  <->  A. y  e.  NN0  ( s  < 
y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph )
)
17 nfv 1673 . . . . . . . 8  |-  F/ x  s  <  y
1817, 6nfim 1853 . . . . . . 7  |-  F/ x
( s  <  y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph )
19 nfv 1673 . . . . . . 7  |-  F/ y ( s  <  x  ->  -.  ph )
20 breq2 4295 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
s  <  y  <->  s  <  x ) )
2120, 8imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( s  <  y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph )  <->  ( s  <  x  ->  -.  ph )
) )
2218, 19, 21cbvral 2942 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  NN0  ( s  <  y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph ) 
<-> 
A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  -.  ph ) )
2316, 22bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  NN0  ( s  <  y  ->  y  e/  { x  e.  NN0  | 
ph } )  <->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
)
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  NN0  | 
ph }  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( A. y  e. 
NN0  ( s  < 
y  ->  y  e/  { x  e.  NN0  |  ph } )  <->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
) )
2524rexbidva 2731 . . 3  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  C_  NN0  ->  ( E. s  e.  NN0  A. y  e.  NN0  (
s  <  y  ->  y  e/  { x  e. 
NN0  |  ph } )  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  -. 
ph ) ) )
262, 25bitrd 253 . 2  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  C_  NN0  ->  ( { x  e.  NN0  | 
ph }  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
) )
271, 26ax-mp 5 1  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756    e/ wnel 2606   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718   [.wsbc 3185    C_ wss 3327   class class class wbr 4291   Fincfn 7309    < clt 9417   NN0cn0 10578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0ub  30794  mptnn0fsupp  30800  pmatcollpw2lem  30903
  Copyright terms: Public domain W3C validator