MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rabssnn0fi Structured version   Unicode version

Theorem rabssnn0fi 12098
Description: A subset of the nonnegative integers defined by a restricted class abstraction is finite if there is a nonnegative integer so that for all integers greater than this integer the condition of the class abstraction is not fulfilled. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
rabssnn0fi  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
)
Distinct variable groups:    x, s    ph, s
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem rabssnn0fi
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3581 . 2  |-  { x  e.  NN0  |  ph }  C_ 
NN0
2 ssnn0fi 12097 . . 3  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  C_  NN0  ->  ( { x  e.  NN0  | 
ph }  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. y  e.  NN0  ( s  < 
y  ->  y  e/  { x  e.  NN0  |  ph } ) ) )
3 nnel 2802 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  y  e/  { x  e.  NN0  |  ph }  <->  y  e.  { x  e. 
NN0  |  ph } )
4 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
y
5 nfcv 2619 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x NN0
6 nfsbc1v 3347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [. y  /  x ].  -.  ph
76nfn 1902 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ x  -.  [. y  /  x ].  -.  ph
8 sbceq2a 3339 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  ( [. y  /  x ].  -.  ph  <->  -.  ph ) )
98equcoms 1796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( [. y  /  x ].  -.  ph  <->  -.  ph ) )
109con2bid 329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  -.  [. y  /  x ].  -.  ph )
)
114, 5, 7, 10elrabf 3255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  { x  e. 
NN0  |  ph }  <->  ( y  e.  NN0  /\  -.  [. y  /  x ].  -.  ph ) )
1211baib 903 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  e.  { x  e. 
NN0  |  ph }  <->  -.  [. y  /  x ].  -.  ph ) )
133, 12syl5bb 257 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( -.  y  e/  { x  e.  NN0  |  ph }  <->  -. 
[. y  /  x ].  -.  ph ) )
1413con4bid 293 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( y  e/  { x  e. 
NN0  |  ph }  <->  [. y  /  x ].  -.  ph )
)
1514imbi2d 316 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  NN0  ->  ( ( s  <  y  -> 
y  e/  { x  e.  NN0  |  ph }
)  <->  ( s  < 
y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph )
) )
1615ralbiia 2887 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  NN0  ( s  <  y  ->  y  e/  { x  e.  NN0  | 
ph } )  <->  A. y  e.  NN0  ( s  < 
y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph )
)
17 nfv 1708 . . . . . . . 8  |-  F/ x  s  <  y
1817, 6nfim 1921 . . . . . . 7  |-  F/ x
( s  <  y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph )
19 nfv 1708 . . . . . . 7  |-  F/ y ( s  <  x  ->  -.  ph )
20 breq2 4460 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
s  <  y  <->  s  <  x ) )
2120, 8imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( s  <  y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph )  <->  ( s  <  x  ->  -.  ph )
) )
2218, 19, 21cbvral 3080 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  NN0  ( s  <  y  ->  [. y  /  x ].  -.  ph ) 
<-> 
A. x  e.  NN0  ( s  <  x  ->  -.  ph ) )
2316, 22bitri 249 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  NN0  ( s  <  y  ->  y  e/  { x  e.  NN0  | 
ph } )  <->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
)
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( ( { x  e.  NN0  | 
ph }  C_  NN0  /\  s  e.  NN0 )  -> 
( A. y  e. 
NN0  ( s  < 
y  ->  y  e/  { x  e.  NN0  |  ph } )  <->  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
) )
2524rexbidva 2965 . . 3  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  C_  NN0  ->  ( E. s  e.  NN0  A. y  e.  NN0  (
s  <  y  ->  y  e/  { x  e. 
NN0  |  ph } )  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  (
s  <  x  ->  -. 
ph ) ) )
262, 25bitrd 253 . 2  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  C_  NN0  ->  ( { x  e.  NN0  | 
ph }  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e.  NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
) )
271, 26ax-mp 5 1  |-  ( { x  e.  NN0  |  ph }  e.  Fin  <->  E. s  e.  NN0  A. x  e. 
NN0  ( s  < 
x  ->  -.  ph )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1819    e/ wnel 2653   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   [.wsbc 3327    C_ wss 3471   class class class wbr 4456   Fincfn 7535    < clt 9645   NN0cn0 10816
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698
This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0ub  12104  mptnn0fsupp  12106  mptnn0fsuppr  12108  pmatcollpw2lem  19405
  Copyright terms: Public domain W3C validator