Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rabssnn0fi Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem rabssnn0fi 12236
 Description: A subset of the nonnegative integers defined by a restricted class abstraction is finite if there is a nonnegative integer so that for all integers greater than this integer the condition of the class abstraction is not fulfilled. (Contributed by AV, 3-Oct-2019.)
Assertion
Ref Expression
rabssnn0fi
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem rabssnn0fi
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssrab2 3500 . 2
2 ssnn0fi 12235 . . 3
3 nnel 2752 . . . . . . . . . 10
4 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12
5 nfcv 2612 . . . . . . . . . . . 12
6 nfsbc1v 3275 . . . . . . . . . . . . 13
76nfn 2003 . . . . . . . . . . . 12
8 sbceq2a 3267 . . . . . . . . . . . . . 14
98equcoms 1872 . . . . . . . . . . . . 13
109con2bid 336 . . . . . . . . . . . 12
114, 5, 7, 10elrabf 3182 . . . . . . . . . . 11
1211baib 919 . . . . . . . . . 10
133, 12syl5bb 265 . . . . . . . . 9
1413con4bid 300 . . . . . . . 8
1514imbi2d 323 . . . . . . 7
1615ralbiia 2822 . . . . . 6
17 nfv 1769 . . . . . . . 8
1817, 6nfim 2023 . . . . . . 7
19 nfv 1769 . . . . . . 7
20 breq2 4399 . . . . . . . 8
2120, 8imbi12d 327 . . . . . . 7
2218, 19, 21cbvral 3001 . . . . . 6
2316, 22bitri 257 . . . . 5
2423a1i 11 . . . 4
2524rexbidva 2889 . . 3
262, 25bitrd 261 . 2
271, 26ax-mp 5 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wcel 1904   wnel 2642  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  wsbc 3255   wss 3390   class class class wbr 4395  cfn 7587   clt 9693  cn0 10893 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811 This theorem is referenced by:  fsuppmapnn0ub  12245  mptnn0fsupp  12247  mptnn0fsuppr  12249  pmatcollpw2lem  19878
 Copyright terms: Public domain W3C validator