MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rabfi Structured version   Unicode version

Theorem rabfi 7641
Description: A restricted class built from a finite set is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
rabfi  |-  ( A  e.  Fin  ->  { x  e.  A  |  ph }  e.  Fin )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem rabfi
StepHypRef Expression
1 dfrab3 3726 . 2  |-  { x  e.  A  |  ph }  =  ( A  i^i  { x  |  ph }
)
2 infi 7640 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  i^i  { x  | 
ph } )  e. 
Fin )
31, 2syl5eqel 2543 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  { x  e.  A  |  ph }  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   {cab 2436   {crab 2799    i^i cin 3428   Fincfn 7413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-br 4394  df-opab 4452  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-om 6580  df-er 7204  df-en 7414  df-fin 7417
This theorem is referenced by:  sygbasnfpfi  16129  zrhcofipsgn  18141  nbusgrafi  23502  cusgrasizeindslem3  23528  cusgrasizeinds  23529  vdgrfival  23712  vdgrfif  23714  vdusgra0nedg  23723  hashnbgravd  23725  finptfin  28710  sstotbnd3  28816  2spotfi  30552  hashwwlkext  30706  rusgranumwlks  30715  clwlknclwlkdifnum  30720  usgreghash2spot  30803  numclwwlkffin  30816  numclwwlk3lem  30842  numclwwlk4  30844
  Copyright terms: Public domain W3C validator