MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rabfi Structured version   Unicode version

Theorem rabfi 7756
Description: A restricted class built from a finite set is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
rabfi  |-  ( A  e.  Fin  ->  { x  e.  A  |  ph }  e.  Fin )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem rabfi
StepHypRef Expression
1 dfrab3 3778 . 2  |-  { x  e.  A  |  ph }  =  ( A  i^i  { x  |  ph }
)
2 infi 7755 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  i^i  { x  | 
ph } )  e. 
Fin )
31, 2syl5eqel 2559 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  { x  e.  A  |  ph }  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   {cab 2452   {crab 2821    i^i cin 3480   Fincfn 7528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-br 4454  df-opab 4512  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-om 6696  df-er 7323  df-en 7529  df-fin 7532
This theorem is referenced by:  sygbasnfpfi  16410  zrhcofipsgn  18498  finptfin  19887  lfinun  19894  nbusgrafi  24262  cusgrasizeindslem3  24289  cusgrasizeinds  24290  hashwwlkext  24560  2spotfi  24706  vdgrfival  24711  vdgrfif  24713  vdusgra0nedg  24722  hashnbgravd  24726  rusgranumwlks  24770  clwlknclwlkdifnum  24775  usgreghash2spot  24884  numclwwlkffin  24897  numclwwlk3lem  24923  numclwwlk4  24925  sstotbnd3  30190  usgfislem2  32226  usgfisALTlem2  32230
  Copyright terms: Public domain W3C validator