MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rabfi Structured version   Unicode version

Theorem rabfi 7802
Description: A restricted class built from a finite set is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)
Assertion
Ref Expression
rabfi  |-  ( A  e.  Fin  ->  { x  e.  A  |  ph }  e.  Fin )
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hint:    ph( x)

Proof of Theorem rabfi
StepHypRef Expression
1 dfrab3 3754 . 2  |-  { x  e.  A  |  ph }  =  ( A  i^i  { x  |  ph }
)
2 infi 7801 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( A  i^i  { x  | 
ph } )  e. 
Fin )
31, 2syl5eqel 2521 1  |-  ( A  e.  Fin  ->  { x  e.  A  |  ph }  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1870   {cab 2414   {crab 2786    i^i cin 3441   Fincfn 7577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-om 6707  df-er 7371  df-en 7578  df-fin 7581
This theorem is referenced by:  sygbasnfpfi  17104  finptfin  20464  lfinun  20471  nbusgrafi  25021  cusgrasizeindslem3  25048  cusgrasizeinds  25049  hashwwlkext  25319  2spotfi  25465  vdgrfival  25470  vdgrfif  25472  vdusgra0nedg  25481  hashnbgravd  25485  rusgranumwlks  25529  clwlknclwlkdifnum  25534  usgreghash2spot  25642  numclwwlkffin  25655  numclwwlk3lem  25681  numclwwlk4  25683  phpreu  31633  poimirlem25  31669  poimirlem26  31670  poimirlem27  31671  poimirlem28  31672  poimirlem31  31675  poimirlem32  31676  sstotbnd3  31812  usgfislem2  38515  usgfisALTlem2  38519
  Copyright terms: Public domain W3C validator