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Theorem r3al 2834
Description: Triple restricted universal quantification. (Contributed by NM, 19-Nov-1995.) (Proof shortened by Wolf Lammen, 30-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
r3al  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z  e.  C  ph  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C
)  ->  ph ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z    y, A, z    z, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y, z)    A( x)    B( x, y)    C( x, y, z)

Proof of Theorem r3al
StepHypRef Expression
1 r2al 2832 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z  e.  C  ph  <->  A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  A. z  e.  C  ph ) )
2 19.21v 1734 . . . 4  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  (
z  e.  C  ->  ph ) )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  A. z ( z  e.  C  ->  ph )
) )
3 df-3an 973 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  z  e.  C ) )
43imbi1i 323 . . . . . 6  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C
)  ->  ph )  <->  ( (
( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  z  e.  C )  ->  ph )
)
5 impexp 444 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  /\  z  e.  C )  ->  ph )  <->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  ( z  e.  C  ->  ph )
) )
64, 5bitri 249 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C
)  ->  ph )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( z  e.  C  ->  ph ) ) )
76albii 1645 . . . 4  |-  ( A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )  <->  A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  (
z  e.  C  ->  ph ) ) )
8 df-ral 2809 . . . . 5  |-  ( A. z  e.  C  ph  <->  A. z
( z  e.  C  ->  ph ) )
98imbi2i 310 . . . 4  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  A. z  e.  C  ph )  <->  ( (
x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  A. z ( z  e.  C  ->  ph )
) )
102, 7, 93bitr4ri 278 . . 3  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  ->  A. z  e.  C  ph )  <->  A. z
( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
)
11102albii 1646 . 2  |-  ( A. x A. y ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  A. z  e.  C  ph )  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C )  ->  ph )
)
121, 11bitri 249 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  A. z  e.  C  ph  <->  A. x A. y A. z ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  z  e.  C
)  ->  ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971   A.wal 1396    e. wcel 1823   A.wral 2804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 369  df-3an 973  df-ex 1618  df-ral 2809
This theorem is referenced by:  pocl  4796  dfwe2  6590  isass  25519
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