Theorem r2exlem 2909

Description: Lemma factoring out common proof steps in r2exf 2910 an r2ex 2912. Introduced to reduce dependencies on axioms. (Contributed by Wolf Lammen, 10-Jan-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
r2exlem.1	|- ( A. x e. A A. y e. B -. ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) )

Assertion

Ref	Expression
r2exlem	|- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) )

Proof of Theorem r2exlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exnal 1698	. . 3 |- ( E. x -. A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) <-> -. A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) )
2		r2exlem.1	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B -. ph <-> A. x A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) )
3	1, 2	xchbinxr 313	. 2 |- ( E. x -. A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) <-> -. A. x e. A A. y e. B -. ph )
4		alinexa 1712	. . . 4 |- ( A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) <-> -. E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) )
5	4	con2bii 334	. . 3 |- ( E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) <-> -. A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) )
6	5	exbii 1717	. 2 |- ( E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) <-> E. x -. A. y ( ( x e. A /\ y e. B ) -> -. ph ) )
7		ralnex 2833	. . . . 5 |- ( A. y e. B -. ph <-> -. E. y e. B ph )
8	7	ralbii 2818	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. B -. ph <-> A. x e. A -. E. y e. B ph )
9		ralnex 2833	. . . 4 |- ( A. x e. A -. E. y e. B ph <-> -. E. x e. A E. y e. B ph )
10	8, 9	bitri 253	. . 3 |- ( A. x e. A A. y e. B -. ph <-> -. E. x e. A E. y e. B ph )
11	10	con2bii 334	. 2 |- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> -. A. x e. A A. y e. B -. ph )
12	3, 6, 11	3bitr4ri 282	1 |- ( E. x e. A E. y e. B ph <-> E. x E. y ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ ph ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   A.wal 1441   E.wex 1662   e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-an 373  df-ex 1663  df-ral 2741  df-rex 2742

This theorem is referenced by:  r2exf  2910  r2ex  2912