Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1wunlim Structured version   Unicode version

Theorem r1wunlim 9118
 Description: The weak universes in the cumulative hierarchy are exactly the limit ordinals. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
r1wunlim WUni

Proof of Theorem r1wunlim
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr 461 . . . . . . 7 WUni WUni
21wun0 9099 . . . . . 6 WUni
3 elfvdm 5882 . . . . . 6
42, 3syl 16 . . . . 5 WUni
5 r1fnon 8188 . . . . . 6
6 fndm 5670 . . . . . 6
75, 6ax-mp 5 . . . . 5
84, 7syl6eleq 2541 . . . 4 WUni
9 eloni 4878 . . . 4
108, 9syl 16 . . 3 WUni
11 n0i 3775 . . . . . 6
122, 11syl 16 . . . . 5 WUni
13 fveq2 5856 . . . . . 6
14 r10 8189 . . . . . 6
1513, 14syl6eq 2500 . . . . 5
1612, 15nsyl 121 . . . 4 WUni
17 suceloni 6633 . . . . . . . 8
188, 17syl 16 . . . . . . 7 WUni
19 sucidg 4946 . . . . . . . 8
208, 19syl 16 . . . . . . 7 WUni
21 r1ord 8201 . . . . . . 7
2218, 20, 21sylc 60 . . . . . 6 WUni
23 r1elwf 8217 . . . . . 6
24 wfelirr 8246 . . . . . 6
2522, 23, 243syl 20 . . . . 5 WUni
26 simprr 757 . . . . . . . . 9 WUni
2726fveq2d 5860 . . . . . . . 8 WUni
28 r1suc 8191 . . . . . . . . 9
2928ad2antrl 727 . . . . . . . 8 WUni
3027, 29eqtrd 2484 . . . . . . 7 WUni
31 simplr 755 . . . . . . . 8 WUni WUni
328adantr 465 . . . . . . . . 9 WUni
33 sucidg 4946 . . . . . . . . . . 11
3433ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10 WUni
3534, 26eleqtrrd 2534 . . . . . . . . 9 WUni
36 r1ord 8201 . . . . . . . . 9
3732, 35, 36sylc 60 . . . . . . . 8 WUni
3831, 37wunpw 9088 . . . . . . 7 WUni
3930, 38eqeltrd 2531 . . . . . 6 WUni
4039rexlimdvaa 2936 . . . . 5 WUni
4125, 40mtod 177 . . . 4 WUni
42 ioran 490 . . . 4
4316, 41, 42sylanbrc 664 . . 3 WUni
44 dflim3 6667 . . 3
4510, 43, 44sylanbrc 664 . 2 WUni
46 r1limwun 9117 . 2 WUni
4745, 46impbida 832 1 WUni
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   wceq 1383   wcel 1804  wrex 2794  c0 3770  cpw 3997  cuni 4234   word 4867  con0 4868   wlim 4869   csuc 4870   cdm 4989  cima 4992   wfn 5573  cfv 5578  cr1 8183  WUnicwun 9081 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-reg 8021  ax-inf2 8061 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-r1 8185  df-rank 8186  df-wun 9083 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator