Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1tr Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem r1tr 8265
 Description: The cumulative hierarchy of sets is transitive. Lemma 7T of [Enderton] p. 202. (Contributed by NM, 8-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1tr

Proof of Theorem r1tr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1funlim 8255 . . . . . 6
21simpri 469 . . . . 5
3 limord 5489 . . . . 5
4 ordsson 6635 . . . . 5
52, 3, 4mp2b 10 . . . 4
65sseli 3414 . . 3
7 fveq2 5879 . . . . . 6
8 r10 8257 . . . . . 6
97, 8syl6eq 2521 . . . . 5
10 treq 4496 . . . . 5
119, 10syl 17 . . . 4
12 fveq2 5879 . . . . 5
13 treq 4496 . . . . 5
1412, 13syl 17 . . . 4
15 fveq2 5879 . . . . 5
16 treq 4496 . . . . 5
1715, 16syl 17 . . . 4
18 fveq2 5879 . . . . 5
19 treq 4496 . . . . 5
2018, 19syl 17 . . . 4
21 tr0 4501 . . . 4
22 limsuc 6695 . . . . . . . 8
232, 22ax-mp 5 . . . . . . 7
24 simpr 468 . . . . . . . . 9
25 pwtr 4653 . . . . . . . . 9
2624, 25sylib 201 . . . . . . . 8
27 r1sucg 8258 . . . . . . . . 9
28 treq 4496 . . . . . . . . 9
2927, 28syl 17 . . . . . . . 8
3026, 29syl5ibrcom 230 . . . . . . 7
3123, 30syl5bir 226 . . . . . 6
32 ndmfv 5903 . . . . . . . 8
33 treq 4496 . . . . . . . 8
3432, 33syl 17 . . . . . . 7
3521, 34mpbiri 241 . . . . . 6
3631, 35pm2.61d1 164 . . . . 5
3736ex 441 . . . 4
38 triun 4503 . . . . . . . 8
39 r1limg 8260 . . . . . . . . . 10
4039ancoms 460 . . . . . . . . 9
41 treq 4496 . . . . . . . . 9
4240, 41syl 17 . . . . . . . 8
4338, 42syl5ibr 229 . . . . . . 7
4443impancom 447 . . . . . 6
45 ndmfv 5903 . . . . . . . 8
4645, 10syl 17 . . . . . . 7
4721, 46mpbiri 241 . . . . . 6
4844, 47pm2.61d1 164 . . . . 5
4948ex 441 . . . 4
5011, 14, 17, 20, 21, 37, 49tfinds 6705 . . 3
516, 50syl 17 . 2
52 ndmfv 5903 . . . 4
53 treq 4496 . . . 4
5452, 53syl 17 . . 3
5521, 54mpbiri 241 . 2
5651, 55pm2.61i 169 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  ciun 4269   wtr 4490   cdm 4839   word 5429  con0 5430   wlim 5431   csuc 5432   wfun 5583  cfv 5589  cr1 8251 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-r1 8253 This theorem is referenced by:  r1tr2  8266  r1ordg  8267  r1ord3g  8268  r1ord2  8270  r1sssuc  8272  r1pwss  8273  r1val1  8275  rankwflemb  8282  r1elwf  8285  r1elssi  8294  uniwf  8308  tcrank  8373  ackbij2lem3  8689  r1limwun  9179  tskr1om2  9211
 Copyright terms: Public domain W3C validator