Theorem r1suc 8266

Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at a successor ordinal. Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
r1suc	|- ( A e. On -> ( R1 ` suc A ) = ~P ( R1 ` A ) )

Proof of Theorem r1suc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1sucg 8265	. 2 |- ( A e. dom R1 -> ( R1 ` suc A ) = ~P ( R1 ` A ) )
2		r1fnon 8263	. . . 4 |- R1 Fn On
3		fndm 5696	. . . 4 |- ( R1 Fn On -> dom R1 = On )
4	2, 3	ax-mp 5	. . 3 |- dom R1 = On
5	4	eqcomi 2470	. 2 |- On = dom R1
6	1, 5	eleq2s 2557	1 |- ( A e. On -> ( R1 ` suc A ) = ~P ( R1 ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1454   e. wcel 1897   ~Pcpw 3962   dom cdm 4852   Oncon0 5441   suc csuc 5443   Fn wfn 5595   ` cfv 5600   R1cr1 8258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-r1 8260

This theorem is referenced by:  r1sdom  8270  r1sssuc  8279  tz9.12lem3  8285  rankval2  8314  rankpwi  8319  dfac12lem2  8599  dfac12r  8601  ackbij2lem2  8695  ackbij2lem3  8696  wunr1om  9169  r1wunlim  9187  tskr1om  9217  inar1  9225  inatsk  9228  grur1a  9269  grothomex  9279  rankeq1o  30986  elhf2  30990  0hf  30992  aomclem1  35956