MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1sscl Structured version   Unicode version

Theorem r1sscl 8116
Description: Each set of the cumulative hierarchy is closed under subsets. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1sscl  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  C  C_  A )  ->  C  e.  ( R1 `  B ) )

Proof of Theorem r1sscl
StepHypRef Expression
1 r1pwss 8115 . . 3  |-  ( A  e.  ( R1 `  B )  ->  ~P A  C_  ( R1 `  B ) )
21adantr 463 . 2  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  C  C_  A )  ->  ~P A  C_  ( R1
`  B ) )
3 elpw2g 4528 . . 3  |-  ( A  e.  ( R1 `  B )  ->  ( C  e.  ~P A  <->  C 
C_  A ) )
43biimpar 483 . 2  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  C  C_  A )  ->  C  e.  ~P A
)
52, 4sseldd 3418 1  |-  ( ( A  e.  ( R1
`  B )  /\  C  C_  A )  ->  C  e.  ( R1 `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1826    C_ wss 3389   ~Pcpw 3927   ` cfv 5496   R1cr1 8093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-om 6600  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-r1 8095
This theorem is referenced by:  sswf  8139
  Copyright terms: Public domain W3C validator