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Theorem r1sdom 7980
Description: Each stage in the cumulative hierarchy is strictly larger than the last. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Apr-2013.)
Assertion
Ref Expression
r1sdom  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  ( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  A ) )

Proof of Theorem r1sdom
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq2 2503 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( B  e.  x  <->  B  e.  (/) ) )
2 fveq2 5690 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( R1
`  x )  =  ( R1 `  (/) ) )
32breq2d 4303 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( R1 `  B ) 
~<  ( R1 `  x
)  <->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  (/) ) ) )
41, 3imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( B  e.  x  -> 
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  x ) )  <->  ( B  e.  (/)  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  (/) ) ) ) )
5 eleq2 2503 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( B  e.  x  <->  B  e.  y ) )
6 fveq2 5690 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  y
) )
76breq2d 4303 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  x )  <->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  y ) ) )
85, 7imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  (
( B  e.  x  ->  ( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  x ) )  <->  ( B  e.  y  ->  ( R1
`  B )  ~< 
( R1 `  y
) ) ) )
9 eleq2 2503 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( B  e.  x  <->  B  e.  suc  y ) )
10 fveq2 5690 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  y )
)
1110breq2d 4303 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  x )  <->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  suc  y ) ) )
129, 11imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( B  e.  x  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  x ) )  <-> 
( B  e.  suc  y  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  suc  y ) ) ) )
13 eleq2 2503 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( B  e.  x  <->  B  e.  A ) )
14 fveq2 5690 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  A
) )
1514breq2d 4303 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  x )  <->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  A ) ) )
1613, 15imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( B  e.  x  ->  ( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  x ) )  <->  ( B  e.  A  ->  ( R1
`  B )  ~< 
( R1 `  A
) ) ) )
17 noel 3640 . . . 4  |-  -.  B  e.  (/)
1817pm2.21i 131 . . 3  |-  ( B  e.  (/)  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  (/) ) )
19 elsuci 4784 . . . . 5  |-  ( B  e.  suc  y  -> 
( B  e.  y  \/  B  =  y ) )
20 fvex 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R1
`  y )  e. 
_V
2120canth2 7463 . . . . . . . . . 10  |-  ( R1
`  y )  ~<  ~P ( R1 `  y
)
22 r1suc 7976 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  suc  y )  =  ~P ( R1
`  y ) )
2321, 22syl5breqr 4327 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  y )  ~< 
( R1 `  suc  y ) )
24 sdomtr 7448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y )  /\  ( R1 `  y )  ~< 
( R1 `  suc  y ) )  -> 
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  suc  y ) )
2524expcom 435 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R1 `  y ) 
~<  ( R1 `  suc  y )  ->  (
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y )  ->  ( R1 `  B )  ~< 
( R1 `  suc  y ) ) )
2623, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  On  ->  (
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y )  ->  ( R1 `  B )  ~< 
( R1 `  suc  y ) ) )
2726com12 31 . . . . . . 7  |-  ( ( R1 `  B ) 
~<  ( R1 `  y
)  ->  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  suc  y ) ) )
2827imim2i 14 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  y  -> 
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y ) )  -> 
( B  e.  y  ->  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  suc  y ) ) ) )
29 fveq2 5690 . . . . . . . . 9  |-  ( B  =  y  ->  ( R1 `  B )  =  ( R1 `  y
) )
3029breq1d 4301 . . . . . . . 8  |-  ( B  =  y  ->  (
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  suc  y )  <->  ( R1 `  y )  ~<  ( R1 `  suc  y ) ) )
3123, 30syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( B  =  y  ->  (
y  e.  On  ->  ( R1 `  B ) 
~<  ( R1 `  suc  y ) ) )
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  y  -> 
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y ) )  -> 
( B  =  y  ->  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  suc  y ) ) ) )
3328, 32jaod 380 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  y  -> 
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y ) )  -> 
( ( B  e.  y  \/  B  =  y )  ->  (
y  e.  On  ->  ( R1 `  B ) 
~<  ( R1 `  suc  y ) ) ) )
3419, 33syl5 32 . . . 4  |-  ( ( B  e.  y  -> 
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y ) )  -> 
( B  e.  suc  y  ->  ( y  e.  On  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  suc  y ) ) ) )
3534com3r 79 . . 3  |-  ( y  e.  On  ->  (
( B  e.  y  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  y ) )  ->  ( B  e. 
suc  y  ->  ( R1 `  B )  ~< 
( R1 `  suc  y ) ) ) )
36 limuni 4778 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  x  =  U. x )
3736eleq2d 2509 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  x  <->  B  e.  U. x
) )
38 eluni2 4094 . . . . . 6  |-  ( B  e.  U. x  <->  E. y  e.  x  B  e.  y )
3937, 38syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  x  <->  E. y  e.  x  B  e.  y )
)
40 r19.29 2856 . . . . . . 7  |-  ( ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y ) )  /\  E. y  e.  x  B  e.  y )  ->  E. y  e.  x  ( ( B  e.  y  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  y ) )  /\  B  e.  y ) )
41 fvex 5700 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R1
`  x )  e. 
_V
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  ( R1 `  x )  e.  _V )
43 ssiun2 4212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  x  ->  ( R1 `  y )  C_  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
44 vex 2974 . . . . . . . . . . . . 13  |-  x  e. 
_V
45 r1lim 7978 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  _V  /\  Lim  x )  ->  ( R1 `  x )  = 
U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
4644, 45mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  ( R1 `  x )  =  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
4746sseq2d 3383 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Lim  x  ->  ( ( R1 `  y )  C_  ( R1 `  x )  <-> 
( R1 `  y
)  C_  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) ) )
4843, 47syl5ibr 221 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim  x  ->  ( y  e.  x  ->  ( R1
`  y )  C_  ( R1 `  x ) ) )
49 ssdomg 7354 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R1 `  x )  e.  _V  ->  (
( R1 `  y
)  C_  ( R1 `  x )  ->  ( R1 `  y )  ~<_  ( R1 `  x ) ) )
5042, 48, 49sylsyld 56 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim  x  ->  ( y  e.  x  ->  ( R1
`  y )  ~<_  ( R1 `  x ) ) )
51 id 22 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  y  -> 
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y ) )  -> 
( B  e.  y  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  y ) ) )
5251imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  e.  y  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  y ) )  /\  B  e.  y )  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  y ) )
53 sdomdomtr 7443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y )  /\  ( R1 `  y )  ~<_  ( R1 `  x ) )  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  x ) )
5453expcom 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R1 `  y )  ~<_  ( R1 `  x
)  ->  ( ( R1 `  B )  ~< 
( R1 `  y
)  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  x ) ) )
5552, 54syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R1 `  y )  ~<_  ( R1 `  x
)  ->  ( (
( B  e.  y  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  y ) )  /\  B  e.  y )  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  x ) ) )
5650, 55syl6 33 . . . . . . . 8  |-  ( Lim  x  ->  ( y  e.  x  ->  ( ( ( B  e.  y  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  y ) )  /\  B  e.  y )  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  x ) ) ) )
5756rexlimdv 2839 . . . . . . 7  |-  ( Lim  x  ->  ( E. y  e.  x  (
( B  e.  y  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  y ) )  /\  B  e.  y )  ->  ( R1 `  B )  ~<  ( R1 `  x ) ) )
5840, 57syl5 32 . . . . . 6  |-  ( Lim  x  ->  ( ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  y ) )  /\  E. y  e.  x  B  e.  y )  -> 
( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  x ) ) )
5958expcomd 438 . . . . 5  |-  ( Lim  x  ->  ( E. y  e.  x  B  e.  y  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ( R1 `  B ) 
~<  ( R1 `  y
) )  ->  ( R1 `  B )  ~< 
( R1 `  x
) ) ) )
6039, 59sylbid 215 . . . 4  |-  ( Lim  x  ->  ( B  e.  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ( R1 `  B ) 
~<  ( R1 `  y
) )  ->  ( R1 `  B )  ~< 
( R1 `  x
) ) ) )
6160com23 78 . . 3  |-  ( Lim  x  ->  ( A. y  e.  x  ( B  e.  y  ->  ( R1 `  B ) 
~<  ( R1 `  y
) )  ->  ( B  e.  x  ->  ( R1 `  B ) 
~<  ( R1 `  x
) ) ) )
624, 8, 12, 16, 18, 35, 61tfinds 6469 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( B  e.  A  ->  ( R1 `  B ) 
~<  ( R1 `  A
) ) )
6362imp 429 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  A )  ->  ( R1 `  B
)  ~<  ( R1 `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   E.wrex 2715   _Vcvv 2971    C_ wss 3327   (/)c0 3636   ~Pcpw 3859   U.cuni 4090   U_ciun 4170   class class class wbr 4291   Oncon0 4718   Lim wlim 4719   suc csuc 4720   ` cfv 5417    ~<_ cdom 7307    ~< csdm 7308   R1cr1 7968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-r1 7970
This theorem is referenced by:  r111  7981  smobeth  8749  r1tskina  8948
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