MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1rankidb Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem r1rankidb 8275
Description: Any set is a subset of the hierarchy of its rank. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1rankidb  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  ( R1 `  ( rank `  A )
) )

Proof of Theorem r1rankidb
StepHypRef Expression
1 ssid 3451 . 2  |-  ( rank `  A )  C_  ( rank `  A )
2 rankdmr1 8272 . . 3  |-  ( rank `  A )  e.  dom  R1
3 rankr1bg 8274 . . 3  |-  ( ( A  e.  U. ( R1 " On )  /\  ( rank `  A )  e.  dom  R1 )  -> 
( A  C_  ( R1 `  ( rank `  A
) )  <->  ( rank `  A )  C_  ( rank `  A ) ) )
42, 3mpan2 677 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  -> 
( A  C_  ( R1 `  ( rank `  A
) )  <->  ( rank `  A )  C_  ( rank `  A ) ) )
51, 4mpbiri 237 1  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  ( R1 `  ( rank `  A )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    e. wcel 1887    C_ wss 3404   U.cuni 4198   dom cdm 4834   "cima 4837   Oncon0 5423   ` cfv 5582   R1cr1 8233   rankcrnk 8234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-r1 8235  df-rank 8236
This theorem is referenced by:  pwwf  8278  unwf  8281  rankpwi  8294  rankelb  8295  rankssb  8319  r1rankid  8330  tcrank  8355
  Copyright terms: Public domain W3C validator