Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pw Structured version   Unicode version

Theorem r1pw 8268
 Description: A stronger property of than rankpw 8266. The latter merely proves that of the successor is a power set, but here we prove that if is in the cumulative hierarchy, then is in the cumulative hierarchy of the successor. (Contributed by Raph Levien, 29-May-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 17-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1pw

Proof of Theorem r1pw
StepHypRef Expression
1 rankpwi 8246 . . . . . 6
21eleq1d 2490 . . . . 5
3 eloni 5395 . . . . . . 7
4 ordsucelsuc 6607 . . . . . . 7
53, 4syl 17 . . . . . 6
65bicomd 204 . . . . 5
72, 6sylan9bb 704 . . . 4
8 pwwf 8230 . . . . . 6
98biimpi 197 . . . . 5
10 suceloni 6598 . . . . . 6
11 r1fnon 8190 . . . . . . 7
12 fndm 5636 . . . . . . 7
1311, 12ax-mp 5 . . . . . 6
1410, 13syl6eleqr 2517 . . . . 5
15 rankr1ag 8225 . . . . 5
169, 14, 15syl2an 479 . . . 4
1713eleq2i 2498 . . . . 5
18 rankr1ag 8225 . . . . 5
1917, 18sylan2br 478 . . . 4
207, 16, 193bitr4rd 289 . . 3
2120ex 435 . 2
22 r1elwf 8219 . . . 4
23 r1elwf 8219 . . . . . 6
24 r1elssi 8228 . . . . . 6
2523, 24syl 17 . . . . 5
26 ssid 3426 . . . . . 6
27 elex 3031 . . . . . . . 8
28 pwexb 6560 . . . . . . . 8
2927, 28sylibr 215 . . . . . . 7
30 elpwg 3932 . . . . . . 7
3129, 30syl 17 . . . . . 6
3226, 31mpbiri 236 . . . . 5
3325, 32sseldd 3408 . . . 4
3422, 33pm5.21ni 353 . . 3
3534a1d 26 . 2
3621, 35pm2.61i 167 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  cvv 3022   wss 3379  cpw 3924  cuni 4162   cdm 4796  cima 4799   word 5384  con0 5385   csuc 5387   wfn 5539  cfv 5544  cr1 8185  crnk 8186 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-om 6651  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-r1 8187  df-rank 8188 This theorem is referenced by:  inatsk  9154
 Copyright terms: Public domain W3C validator