MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1pid Structured version   Unicode version

Theorem r1pid 21759
Description: Express the original polynomial  F as  F  =  ( q  x.  G
)  +  r using the quotient and remainder functions for  q and  r. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
r1pid.p  |-  P  =  (Poly1 `  R )
r1pid.b  |-  B  =  ( Base `  P
)
r1pid.c  |-  C  =  (Unic1p `  R )
r1pid.q  |-  Q  =  (quot1p `  R )
r1pid.e  |-  E  =  (rem1p `  R )
r1pid.t  |-  .x.  =  ( .r `  P )
r1pid.m  |-  .+  =  ( +g  `  P )
Assertion
Ref Expression
r1pid  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  F  =  ( ( ( F Q G ) 
.x.  G )  .+  ( F E G ) ) )

Proof of Theorem r1pid
StepHypRef Expression
1 r1pid.p . . . . . 6  |-  P  =  (Poly1 `  R )
2 r1pid.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  P
)
3 r1pid.c . . . . . 6  |-  C  =  (Unic1p `  R )
41, 2, 3uc1pcl 21743 . . . . 5  |-  ( G  e.  C  ->  G  e.  B )
5 r1pid.e . . . . . 6  |-  E  =  (rem1p `  R )
6 r1pid.q . . . . . 6  |-  Q  =  (quot1p `  R )
7 r1pid.t . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .r `  P )
8 eqid 2452 . . . . . 6  |-  ( -g `  P )  =  (
-g `  P )
95, 1, 2, 6, 7, 8r1pval 21756 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  ( F E G )  =  ( F ( -g `  P
) ( ( F Q G )  .x.  G ) ) )
104, 9sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F E G )  =  ( F ( -g `  P
) ( ( F Q G )  .x.  G ) ) )
11103adant1 1006 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F E G )  =  ( F ( -g `  P ) ( ( F Q G ) 
.x.  G ) ) )
1211oveq2d 6211 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( ( F Q G )  .x.  G
)  .+  ( F E G ) )  =  ( ( ( F Q G )  .x.  G )  .+  ( F ( -g `  P
) ( ( F Q G )  .x.  G ) ) ) )
131ply1rng 17821 . . . . 5  |-  ( R  e.  Ring  ->  P  e. 
Ring )
14133ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  P  e.  Ring )
15 rngabl 16792 . . . 4  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Abel )
1614, 15syl 16 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  P  e.  Abel )
176, 1, 2, 3q1pcl 21755 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F Q G )  e.  B )
1843ad2ant3 1011 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  G  e.  B )
192, 7rngcl 16776 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Ring  /\  ( F Q G )  e.  B  /\  G  e.  B )  ->  (
( F Q G )  .x.  G )  e.  B )
2014, 17, 18, 19syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( F Q G )  .x.  G )  e.  B )
21 rnggrp 16768 . . . . 5  |-  ( P  e.  Ring  ->  P  e. 
Grp )
2214, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  P  e.  Grp )
23 simp2 989 . . . 4  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  F  e.  B )
242, 8grpsubcl 15720 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  ( ( F Q G )  .x.  G
)  e.  B )  ->  ( F (
-g `  P )
( ( F Q G )  .x.  G
) )  e.  B
)
2522, 23, 20, 24syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  ( F ( -g `  P
) ( ( F Q G )  .x.  G ) )  e.  B )
26 r1pid.m . . . 4  |-  .+  =  ( +g  `  P )
272, 26ablcom 16410 . . 3  |-  ( ( P  e.  Abel  /\  (
( F Q G )  .x.  G )  e.  B  /\  ( F ( -g `  P
) ( ( F Q G )  .x.  G ) )  e.  B )  ->  (
( ( F Q G )  .x.  G
)  .+  ( F
( -g `  P ) ( ( F Q G )  .x.  G
) ) )  =  ( ( F (
-g `  P )
( ( F Q G )  .x.  G
) )  .+  (
( F Q G )  .x.  G ) ) )
2816, 20, 25, 27syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( ( F Q G )  .x.  G
)  .+  ( F
( -g `  P ) ( ( F Q G )  .x.  G
) ) )  =  ( ( F (
-g `  P )
( ( F Q G )  .x.  G
) )  .+  (
( F Q G )  .x.  G ) ) )
292, 26, 8grpnpcan 15731 . . 3  |-  ( ( P  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  ( ( F Q G )  .x.  G
)  e.  B )  ->  ( ( F ( -g `  P
) ( ( F Q G )  .x.  G ) )  .+  ( ( F Q G )  .x.  G
) )  =  F )
3022, 23, 20, 29syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  (
( F ( -g `  P ) ( ( F Q G ) 
.x.  G ) ) 
.+  ( ( F Q G )  .x.  G ) )  =  F )
3112, 28, 303eqtrrd 2498 1  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  F  e.  B  /\  G  e.  C )  ->  F  =  ( ( ( F Q G ) 
.x.  G )  .+  ( F E G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   Basecbs 14287   +g cplusg 14352   .rcmulr 14353   Grpcgrp 15524   -gcsg 15527   Abelcabel 16394   Ringcrg 16763  Poly1cpl1 17752  Unic1pcuc1p 21726  quot1pcq1p 21727  rem1pcr1p 21728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-ofr 6426  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-tpos 6850  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-seq 11919  df-hash 12216  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-mhm 15578  df-submnd 15579  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-mulg 15662  df-subg 15792  df-ghm 15859  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-abl 16396  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-cring 16766  df-oppr 16833  df-dvdsr 16851  df-unit 16852  df-invr 16882  df-subrg 16981  df-lmod 17068  df-lss 17132  df-rlreg 17472  df-psr 17541  df-mvr 17542  df-mpl 17543  df-opsr 17545  df-psr1 17755  df-vr1 17756  df-ply1 17757  df-coe1 17758  df-cnfld 17939  df-mdeg 21652  df-deg1 21653  df-uc1p 21731  df-q1p 21732  df-r1p 21733
This theorem is referenced by:  ply1rem  21763
  Copyright terms: Public domain W3C validator