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Theorem r1ordg 8201
Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Proposition 9.10(2) of [TakeutiZaring] p. 77. (Contributed by NM, 8-Sep-2003.)
Assertion
Ref Expression
r1ordg  |-  ( B  e.  dom  R1  ->  ( A  e.  B  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  B ) ) )

Proof of Theorem r1ordg
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 458 . . . 4  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  B  e.  dom  R1 )
2 r1funlim 8189 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
R1  /\  Lim  dom  R1 )
32simpri 463 . . . . . . 7  |-  Lim  dom  R1
4 limord 5444 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  Ord  dom  R1 )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Ord  dom  R1
6 ordsson 6574 . . . . . 6  |-  ( Ord 
dom  R1  ->  dom  R1  C_  On )
75, 6ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom  R1  C_  On
87sseli 3403 . . . 4  |-  ( B  e.  dom  R1  ->  B  e.  On )
91, 8syl 17 . . 3  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  B  e.  On )
10 onelon 5410 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
118, 10sylan 473 . . . 4  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  A  e.  On )
12 suceloni 6598 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  On )
1311, 12syl 17 . . 3  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  suc  A  e.  On )
14 eloni 5395 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
15 ordsucss 6603 . . . . . 6  |-  ( Ord 
B  ->  ( A  e.  B  ->  suc  A  C_  B ) )
1614, 15syl 17 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( A  e.  B  ->  suc 
A  C_  B )
)
1716imp 430 . . . 4  |-  ( ( B  e.  On  /\  A  e.  B )  ->  suc  A  C_  B
)
188, 17sylan 473 . . 3  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  suc  A  C_  B
)
19 eleq1 2494 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( x  e.  dom  R1  <->  suc 
A  e.  dom  R1 ) )
20 fveq2 5825 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  A )
)
2120eleq2d 2491 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  x )  <-> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
) )
2219, 21imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  A  -> 
( ( x  e. 
dom  R1  ->  ( R1
`  A )  e.  ( R1 `  x
) )  <->  ( suc  A  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  suc  A ) ) ) )
23 eleq1 2494 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  dom  R1  <->  y  e.  dom  R1 ) )
24 fveq2 5825 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  y
) )
2524eleq2d 2491 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x )  <->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  y ) ) )
2623, 25imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x ) )  <-> 
( y  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y ) ) ) )
27 eleq1 2494 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  dom  R1  <->  suc  y  e.  dom  R1 ) )
28 fveq2 5825 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( R1 `  x
)  =  ( R1
`  suc  y )
)
2928eleq2d 2491 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  x )  <-> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  y )
) )
3027, 29imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
dom  R1  ->  ( R1
`  A )  e.  ( R1 `  x
) )  <->  ( suc  y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  suc  y ) ) ) )
31 eleq1 2494 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
x  e.  dom  R1  <->  B  e.  dom  R1 ) )
32 fveq2 5825 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  ( R1 `  x )  =  ( R1 `  B
) )
3332eleq2d 2491 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x )  <->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  B ) ) )
3431, 33imbi12d 321 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  (
( x  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x ) )  <-> 
( B  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  B ) ) ) )
35 fvex 5835 . . . . . . . 8  |-  ( R1
`  A )  e. 
_V
3635pwid 3938 . . . . . . 7  |-  ( R1
`  A )  e. 
~P ( R1 `  A )
37 limsuc 6634 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  ( A  e.  dom  R1  <->  suc  A  e. 
dom  R1 ) )
383, 37ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  R1  <->  suc  A  e. 
dom  R1 )
39 r1sucg 8192 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  A
)  =  ~P ( R1 `  A ) )
4038, 39sylbir 216 . . . . . . 7  |-  ( suc 
A  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  A )  =  ~P ( R1 `  A ) )
4136, 40syl5eleqr 2513 . . . . . 6  |-  ( suc 
A  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
)
4241a1i 11 . . . . 5  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  ( suc  A  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
) )
43 limsuc 6634 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
dom  R1  ->  ( y  e.  dom  R1  <->  suc  y  e. 
dom  R1 ) )
443, 43ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  dom  R1  <->  suc  y  e. 
dom  R1 )
45 r1tr 8199 . . . . . . . . . . 11  |-  Tr  ( R1 `  y )
46 dftr4 4466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Tr  ( R1 `  y
)  <->  ( R1 `  y )  C_  ~P ( R1 `  y ) )
4745, 46mpbi 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( R1
`  y )  C_  ~P ( R1 `  y
)
48 r1sucg 8192 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  suc  y
)  =  ~P ( R1 `  y ) )
4947, 48syl5sseqr 3456 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  y ) 
C_  ( R1 `  suc  y ) )
5049sseld 3406 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  dom  R1  ->  ( ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y )  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  y )
) )
5150a2i 14 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y ) )  ->  ( y  e. 
dom  R1  ->  ( R1
`  A )  e.  ( R1 `  suc  y ) ) )
5244, 51syl5bir 221 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y ) )  ->  ( suc  y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  suc  y ) ) )
5352a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  y )  ->  (
( y  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y ) )  ->  ( suc  y  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  suc  y ) ) ) )
54 simprl 762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  suc  A  C_  x )
55 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  suc  A  e.  On )
56 sucelon 6602 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  On  <->  suc  A  e.  On )
5755, 56sylibr 215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  A  e.  On )
58 limord 5444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Lim  x  ->  Ord  x )
5958ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  Ord  x )
60 ordelsuc 6605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  Ord  x )  ->  ( A  e.  x  <->  suc  A  C_  x ) )
6157, 59, 60syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( A  e.  x  <->  suc 
A  C_  x )
)
6254, 61mpbird 235 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  A  e.  x )
63 limsuc 6634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Lim  x  ->  ( A  e.  x  <->  suc  A  e.  x
) )
6463ad2antrr 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( A  e.  x  <->  suc 
A  e.  x ) )
6562, 64mpbid 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  suc  A  e.  x )
66 simprr 764 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  x  e.  dom  R1 )
67 ordtr1 5428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Ord 
dom  R1  ->  ( ( A  e.  x  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  A  e.  dom  R1 ) )
685, 67ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  x  /\  x  e.  dom  R1 )  ->  A  e.  dom  R1 )
6962, 66, 68syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  A  e.  dom  R1 )
7069, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  suc  A )  =  ~P ( R1 `  A ) )
7136, 70syl5eleqr 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
)
72 fveq2 5825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( R1 `  y
)  =  ( R1
`  suc  A )
)
7372eleq2d 2491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  suc  A  -> 
( ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  y )  <-> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
) )
7473rspcev 3125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( suc  A  e.  x  /\  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  suc  A )
)  ->  E. y  e.  x  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  y ) )
7565, 71, 74syl2anc 665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  E. y  e.  x  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  y ) )
76 eliun 4247 . . . . . . . . 9  |-  ( ( R1 `  A )  e.  U_ y  e.  x  ( R1 `  y )  <->  E. y  e.  x  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  y ) )
7775, 76sylibr 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  A
)  e.  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
78 simpll 758 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  ->  Lim  x )
79 r1limg 8194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  dom  R1  /\ 
Lim  x )  -> 
( R1 `  x
)  =  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
8066, 78, 79syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  x
)  =  U_ y  e.  x  ( R1 `  y ) )
8177, 80eleqtrrd 2509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  x  /\  x  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x ) )
8281expr 618 . . . . . 6  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  ->  (
x  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  x ) ) )
8382a1d 26 . . . . 5  |-  ( ( ( Lim  x  /\  suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  x )  ->  ( A. y  e.  x  ( suc  A  C_  y  ->  ( y  e.  dom  R1 
->  ( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  y ) ) )  ->  ( x  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  x
) ) ) )
8422, 26, 30, 34, 42, 53, 83tfindsg 6645 . . . 4  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  suc  A  C_  B )  ->  ( B  e.  dom  R1  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  B ) ) )
8584impr 623 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  On  /\ 
suc  A  e.  On )  /\  ( suc  A  C_  B  /\  B  e. 
dom  R1 ) )  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  B ) )
869, 13, 18, 1, 85syl22anc 1265 . 2  |-  ( ( B  e.  dom  R1  /\  A  e.  B )  ->  ( R1 `  A )  e.  ( R1 `  B ) )
8786ex 435 1  |-  ( B  e.  dom  R1  ->  ( A  e.  B  -> 
( R1 `  A
)  e.  ( R1
`  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715    C_ wss 3379   ~Pcpw 3924   U_ciun 4242   Tr wtr 4461   dom cdm 4796   Ord word 5384   Oncon0 5385   Lim wlim 5386   suc csuc 5387   Fun wfun 5538   ` cfv 5544   R1cr1 8185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-om 6651  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-r1 8187
This theorem is referenced by:  r1ord3g  8202  r1ord  8203
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