Theorem r1ord2 8270

Description: Ordering relation for the cumulative hierarchy of sets. Part of Proposition 9.10(2) of [TakeutiZaring] p. 77. (Contributed by NM, 22-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
r1ord2	|- ( B e. On -> ( A e. B -> ( R1 ` A ) C_ ( R1 ` B ) ) )

Proof of Theorem r1ord2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r1ord 8269	. 2 |- ( B e. On -> ( A e. B -> ( R1 ` A ) e. ( R1 ` B ) ) )
2		r1tr 8265	. . 3 |- Tr ( R1 ` B )
3		trss 4499	. . 3 |- ( Tr ( R1 ` B ) -> ( ( R1 ` A ) e. ( R1 ` B ) -> ( R1 ` A ) C_ ( R1 ` B ) ) )
4	2, 3	ax-mp 5	. 2 |- ( ( R1 ` A ) e. ( R1 ` B ) -> ( R1 ` A ) C_ ( R1 ` B ) )
5	1, 4	syl6 33	1 |- ( B e. On -> ( A e. B -> ( R1 ` A ) C_ ( R1 ` B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1904   C_ wss 3390   Tr wtr 4490   Oncon0 5430   ` cfv 5589   R1cr1 8251

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-r1 8253

This theorem is referenced by:  tz9.12lem3  8278  dfac12lem2  8592  smobeth  9029  wunex3  9184  inatsk  9221