Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1om Structured version   Unicode version

Theorem r1om 8655
 Description: The set of hereditarily finite sets is countable. See ackbij2 8654 for an explicit bijection that works without Infinity. See also r1omALT 9183. (Contributed by Stefan O'Rear, 18-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
r1om

Proof of Theorem r1om
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 omex 8092 . . . 4
2 limom 6697 . . . 4
3 r1lim 8221 . . . 4
41, 2, 3mp2an 670 . . 3
5 r1fnon 8216 . . . 4
6 fnfun 5658 . . . 4
7 funiunfv 6140 . . . 4
85, 6, 7mp2b 10 . . 3
94, 8eqtri 2431 . 2
10 iuneq1 4284 . . . . . . 7
11 sneq 3981 . . . . . . . . 9
12 pweq 3957 . . . . . . . . 9
1311, 12xpeq12d 4847 . . . . . . . 8
1413cbviunv 4309 . . . . . . 7
1510, 14syl6eq 2459 . . . . . 6
1615fveq2d 5852 . . . . 5
1716cbvmptv 4486 . . . 4
18 dmeq 5023 . . . . . . . 8
1918pweqd 3959 . . . . . . 7
20 imaeq1 5151 . . . . . . . 8
2120fveq2d 5852 . . . . . . 7
2219, 21mpteq12dv 4472 . . . . . 6
23 imaeq2 5152 . . . . . . . 8
2423fveq2d 5852 . . . . . . 7
2524cbvmptv 4486 . . . . . 6
2622, 25syl6eq 2459 . . . . 5
2726cbvmptv 4486 . . . 4
28 eqid 2402 . . . 4
2917, 27, 28ackbij2 8654 . . 3
30 fvex 5858 . . . . 5
319, 30eqeltrri 2487 . . . 4
3231f1oen 7573 . . 3
3329, 32ax-mp 5 . 2
349, 33eqbrtri 4413 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wceq 1405   wcel 1842  cvv 3058   cin 3412  c0 3737  cpw 3954  csn 3971  cuni 4190  ciun 4270   class class class wbr 4394   cmpt 4452   cxp 4820   cdm 4822  cima 4825  con0 5409   wlim 5410   wfun 5562   wfn 5563  wf1o 5567  cfv 5568  com 6682  crdg 7111   cen 7550  cfn 7553  cr1 8211  ccrd 8347 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-r1 8213  df-rank 8214  df-card 8351  df-cda 8579 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator