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Theorem r1limwun 9163
Description: Each limit stage in the cumulative hierarchy is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
r1limwun  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  ( R1 `  A )  e. WUni
)

Proof of Theorem r1limwun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1tr 8250 . . 3  |-  Tr  ( R1 `  A )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  Tr  ( R1 `  A ) )
3 limelon 5503 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  A  e.  On )
4 r1fnon 8241 . . . . . . 7  |-  R1  Fn  On
5 fndm 5691 . . . . . . 7  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  R1  =  On
73, 6syl6eleqr 2522 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  A  e.  dom  R1 )
8 onssr1 8305 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  A 
C_  ( R1 `  A ) )
97, 8syl 17 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  A  C_  ( R1 `  A
) )
10 0ellim 5502 . . . . 5  |-  ( Lim 
A  ->  (/)  e.  A
)
1110adantl 468 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  (/)  e.  A
)
129, 11sseldd 3466 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  (/)  e.  ( R1 `  A ) )
13 ne0i 3768 . . 3  |-  ( (/)  e.  ( R1 `  A
)  ->  ( R1 `  A )  =/=  (/) )
1412, 13syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  ( R1 `  A )  =/=  (/) )
15 rankuni 8337 . . . . . 6  |-  ( rank `  U. x )  = 
U. ( rank `  x
)
16 rankon 8269 . . . . . . . . 9  |-  ( rank `  x )  e.  On
17 eloni 5450 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  x )  e.  On  ->  Ord  ( rank `  x ) )
18 orduniss 5534 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord  ( rank `  x
)  ->  U. ( rank `  x )  C_  ( rank `  x )
)
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  U. ( rank `  x )  C_  ( rank `  x )
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  U. ( rank `  x
)  C_  ( rank `  x ) )
21 rankr1ai 8272 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R1 `  A )  ->  ( rank `  x )  e.  A )
2221adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  -> 
( rank `  x )  e.  A )
23 onuni 6632 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  x )  e.  On  ->  U. ( rank `  x )  e.  On )
2416, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  U. ( rank `  x )  e.  On
253adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  A  e.  On )
26 ontr2 5487 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. ( rank `  x
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( U. ( rank `  x )  C_  ( rank `  x )  /\  ( rank `  x
)  e.  A )  ->  U. ( rank `  x
)  e.  A ) )
2724, 25, 26sylancr 668 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  -> 
( ( U. ( rank `  x )  C_  ( rank `  x )  /\  ( rank `  x
)  e.  A )  ->  U. ( rank `  x
)  e.  A ) )
2820, 22, 27mp2and 684 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  U. ( rank `  x
)  e.  A )
2915, 28syl5eqel 2515 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  -> 
( rank `  U. x )  e.  A )
30 r1elwf 8270 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R1 `  A )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
3130adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
32 uniwf 8293 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  <->  U. x  e.  U. ( R1 " On ) )
3331, 32sylib 200 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  U. x  e.  U. ( R1 " On ) )
347adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  A  e.  dom  R1 )
35 rankr1ag 8276 . . . . . 6  |-  ( ( U. x  e.  U. ( R1 " On )  /\  A  e.  dom  R1 )  ->  ( U. x  e.  ( R1 `  A )  <->  ( rank ` 
U. x )  e.  A ) )
3633, 34, 35syl2anc 666 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  -> 
( U. x  e.  ( R1 `  A
)  <->  ( rank `  U. x )  e.  A
) )
3729, 36mpbird 236 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  U. x  e.  ( R1 `  A ) )
38 r1pwcl 8321 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  ( x  e.  ( R1 `  A
)  <->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
3938adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  (
x  e.  ( R1
`  A )  <->  ~P x  e.  ( R1 `  A
) ) )
4039biimpa 487 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) )
4130ad2antlr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
42 r1elwf 8270 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( R1 `  A )  ->  y  e.  U. ( R1 " On ) )
4342adantl 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  y  e.  U. ( R1 " On ) )
44 rankprb 8325 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  y  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  {
x ,  y } )  =  suc  (
( rank `  x )  u.  ( rank `  y
) ) )
4541, 43, 44syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ( rank `  { x ,  y } )  =  suc  ( ( rank `  x )  u.  ( rank `  y ) ) )
46 limord 5499 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
4746ad3antlr 736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  Ord  A )
4822adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ( rank `  x )  e.  A )
49 rankr1ai 8272 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( R1 `  A )  ->  ( rank `  y )  e.  A )
5049adantl 468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ( rank `  y )  e.  A )
51 ordunel 6666 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  ( rank `  x )  e.  A  /\  ( rank `  y )  e.  A
)  ->  ( ( rank `  x )  u.  ( rank `  y
) )  e.  A
)
5247, 48, 50, 51syl3anc 1265 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  (
( rank `  x )  u.  ( rank `  y
) )  e.  A
)
53 limsuc 6688 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
( rank `  x )  u.  ( rank `  y
) )  e.  A  <->  suc  ( ( rank `  x
)  u.  ( rank `  y ) )  e.  A ) )
5453ad3antlr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  (
( ( rank `  x
)  u.  ( rank `  y ) )  e.  A  <->  suc  ( ( rank `  x )  u.  ( rank `  y ) )  e.  A ) )
5552, 54mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  suc  ( ( rank `  x
)  u.  ( rank `  y ) )  e.  A )
5645, 55eqeltrd 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ( rank `  { x ,  y } )  e.  A )
57 prwf 8285 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  y  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  { x ,  y }  e.  U. ( R1 " On ) )
5841, 43, 57syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  { x ,  y }  e.  U. ( R1 " On ) )
5934adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  A  e.  dom  R1 )
60 rankr1ag 8276 . . . . . . 7  |-  ( ( { x ,  y }  e.  U. ( R1 " On )  /\  A  e.  dom  R1 )  ->  ( { x ,  y }  e.  ( R1 `  A )  <-> 
( rank `  { x ,  y } )  e.  A ) )
6158, 59, 60syl2anc 666 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ( { x ,  y }  e.  ( R1
`  A )  <->  ( rank `  { x ,  y } )  e.  A
) )
6256, 61mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  { x ,  y }  e.  ( R1 `  A ) )
6362ralrimiva 2840 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  A. y  e.  ( R1 `  A ) { x ,  y }  e.  ( R1 `  A ) )
6437, 40, 633jca 1186 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  -> 
( U. x  e.  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
)  /\  A. y  e.  ( R1 `  A
) { x ,  y }  e.  ( R1 `  A ) ) )
6564ralrimiva 2840 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  A. x  e.  ( R1 `  A
) ( U. x  e.  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
)  /\  A. y  e.  ( R1 `  A
) { x ,  y }  e.  ( R1 `  A ) ) )
66 fvex 5889 . . 3  |-  ( R1
`  A )  e. 
_V
67 iswun 9131 . . 3  |-  ( ( R1 `  A )  e.  _V  ->  (
( R1 `  A
)  e. WUni  <->  ( Tr  ( R1 `  A )  /\  ( R1 `  A )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( R1 `  A
) ( U. x  e.  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
)  /\  A. y  e.  ( R1 `  A
) { x ,  y }  e.  ( R1 `  A ) ) ) ) )
6866, 67ax-mp 5 . 2  |-  ( ( R1 `  A )  e. WUni 
<->  ( Tr  ( R1
`  A )  /\  ( R1 `  A )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( R1 `  A
) ( U. x  e.  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
)  /\  A. y  e.  ( R1 `  A
) { x ,  y }  e.  ( R1 `  A ) ) ) )
692, 14, 65, 68syl3anbrc 1190 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  ( R1 `  A )  e. WUni
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869    =/= wne 2619   A.wral 2776   _Vcvv 3082    u. cun 3435    C_ wss 3437   (/)c0 3762   ~Pcpw 3980   {cpr 3999   U.cuni 4217   Tr wtr 4516   dom cdm 4851   "cima 4854   Ord word 5439   Oncon0 5440   Lim wlim 5441   suc csuc 5442    Fn wfn 5594   ` cfv 5599   R1cr1 8236   rankcrnk 8237  WUnicwun 9127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-reg 8111  ax-inf2 8150
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-r1 8238  df-rank 8239  df-wun 9129
This theorem is referenced by:  r1wunlim  9164  wunex3  9168
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