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Theorem r1limwun 8990
Description: Each limit stage in the cumulative hierarchy is a weak universe. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jan-2017.)
Assertion
Ref Expression
r1limwun  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  ( R1 `  A )  e. WUni
)

Proof of Theorem r1limwun
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1tr 8070 . . 3  |-  Tr  ( R1 `  A )
21a1i 11 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  Tr  ( R1 `  A ) )
3 limelon 4866 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  A  e.  On )
4 r1fnon 8061 . . . . . . 7  |-  R1  Fn  On
5 fndm 5594 . . . . . . 7  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
64, 5ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  R1  =  On
73, 6syl6eleqr 2547 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  A  e.  dom  R1 )
8 onssr1 8125 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  R1  ->  A 
C_  ( R1 `  A ) )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  A  C_  ( R1 `  A
) )
10 0ellim 4865 . . . . 5  |-  ( Lim 
A  ->  (/)  e.  A
)
1110adantl 466 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  (/)  e.  A
)
129, 11sseldd 3441 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  (/)  e.  ( R1 `  A ) )
13 ne0i 3727 . . 3  |-  ( (/)  e.  ( R1 `  A
)  ->  ( R1 `  A )  =/=  (/) )
1412, 13syl 16 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  ( R1 `  A )  =/=  (/) )
15 rankuni 8157 . . . . . 6  |-  ( rank `  U. x )  = 
U. ( rank `  x
)
16 rankon 8089 . . . . . . . . 9  |-  ( rank `  x )  e.  On
17 eloni 4813 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  x )  e.  On  ->  Ord  ( rank `  x ) )
18 orduniss 4897 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord  ( rank `  x
)  ->  U. ( rank `  x )  C_  ( rank `  x )
)
1916, 17, 18mp2b 10 . . . . . . . 8  |-  U. ( rank `  x )  C_  ( rank `  x )
2019a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  U. ( rank `  x
)  C_  ( rank `  x ) )
21 rankr1ai 8092 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R1 `  A )  ->  ( rank `  x )  e.  A )
2221adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  -> 
( rank `  x )  e.  A )
23 onuni 6490 . . . . . . . . 9  |-  ( (
rank `  x )  e.  On  ->  U. ( rank `  x )  e.  On )
2416, 23ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  U. ( rank `  x )  e.  On
253adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  A  e.  On )
26 ontr2 4850 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. ( rank `  x
)  e.  On  /\  A  e.  On )  ->  ( ( U. ( rank `  x )  C_  ( rank `  x )  /\  ( rank `  x
)  e.  A )  ->  U. ( rank `  x
)  e.  A ) )
2724, 25, 26sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  -> 
( ( U. ( rank `  x )  C_  ( rank `  x )  /\  ( rank `  x
)  e.  A )  ->  U. ( rank `  x
)  e.  A ) )
2820, 22, 27mp2and 679 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  U. ( rank `  x
)  e.  A )
2915, 28syl5eqel 2540 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  -> 
( rank `  U. x )  e.  A )
30 r1elwf 8090 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R1 `  A )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
3130adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
32 uniwf 8113 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  U. ( R1
" On )  <->  U. x  e.  U. ( R1 " On ) )
3331, 32sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  U. x  e.  U. ( R1 " On ) )
347adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  A  e.  dom  R1 )
35 rankr1ag 8096 . . . . . 6  |-  ( ( U. x  e.  U. ( R1 " On )  /\  A  e.  dom  R1 )  ->  ( U. x  e.  ( R1 `  A )  <->  ( rank ` 
U. x )  e.  A ) )
3633, 34, 35syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  -> 
( U. x  e.  ( R1 `  A
)  <->  ( rank `  U. x )  e.  A
) )
3729, 36mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  U. x  e.  ( R1 `  A ) )
38 r1pwcl 8141 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  ( x  e.  ( R1 `  A
)  <->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
3938adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  (
x  e.  ( R1
`  A )  <->  ~P x  e.  ( R1 `  A
) ) )
4039biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) )
4130ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
42 r1elwf 8090 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( R1 `  A )  ->  y  e.  U. ( R1 " On ) )
4342adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  y  e.  U. ( R1 " On ) )
44 rankprb 8145 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  y  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  ( rank `  {
x ,  y } )  =  suc  (
( rank `  x )  u.  ( rank `  y
) ) )
4541, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ( rank `  { x ,  y } )  =  suc  ( ( rank `  x )  u.  ( rank `  y ) ) )
46 limord 4862 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim 
A  ->  Ord  A )
4746ad3antlr 730 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  Ord  A )
4822adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ( rank `  x )  e.  A )
49 rankr1ai 8092 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( R1 `  A )  ->  ( rank `  y )  e.  A )
5049adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ( rank `  y )  e.  A )
51 ordunel 6524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Ord  A  /\  ( rank `  x )  e.  A  /\  ( rank `  y )  e.  A
)  ->  ( ( rank `  x )  u.  ( rank `  y
) )  e.  A
)
5247, 48, 50, 51syl3anc 1219 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  (
( rank `  x )  u.  ( rank `  y
) )  e.  A
)
53 limsuc 6546 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
( rank `  x )  u.  ( rank `  y
) )  e.  A  <->  suc  ( ( rank `  x
)  u.  ( rank `  y ) )  e.  A ) )
5453ad3antlr 730 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  (
( ( rank `  x
)  u.  ( rank `  y ) )  e.  A  <->  suc  ( ( rank `  x )  u.  ( rank `  y ) )  e.  A ) )
5552, 54mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  suc  ( ( rank `  x
)  u.  ( rank `  y ) )  e.  A )
5645, 55eqeltrd 2536 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ( rank `  { x ,  y } )  e.  A )
57 prwf 8105 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  y  e.  U. ( R1 " On ) )  ->  { x ,  y }  e.  U. ( R1 " On ) )
5841, 43, 57syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  { x ,  y }  e.  U. ( R1 " On ) )
5934adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  A  e.  dom  R1 )
60 rankr1ag 8096 . . . . . . 7  |-  ( ( { x ,  y }  e.  U. ( R1 " On )  /\  A  e.  dom  R1 )  ->  ( { x ,  y }  e.  ( R1 `  A )  <-> 
( rank `  { x ,  y } )  e.  A ) )
6158, 59, 60syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ( { x ,  y }  e.  ( R1
`  A )  <->  ( rank `  { x ,  y } )  e.  A
) )
6256, 61mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A
)  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  y  e.  ( R1 `  A
) )  ->  { x ,  y }  e.  ( R1 `  A ) )
6362ralrimiva 2881 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  ->  A. y  e.  ( R1 `  A ) { x ,  y }  e.  ( R1 `  A ) )
6437, 40, 633jca 1168 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  /\  x  e.  ( R1 `  A ) )  -> 
( U. x  e.  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
)  /\  A. y  e.  ( R1 `  A
) { x ,  y }  e.  ( R1 `  A ) ) )
6564ralrimiva 2881 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  A. x  e.  ( R1 `  A
) ( U. x  e.  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
)  /\  A. y  e.  ( R1 `  A
) { x ,  y }  e.  ( R1 `  A ) ) )
66 fvex 5785 . . 3  |-  ( R1
`  A )  e. 
_V
67 iswun 8958 . . 3  |-  ( ( R1 `  A )  e.  _V  ->  (
( R1 `  A
)  e. WUni  <->  ( Tr  ( R1 `  A )  /\  ( R1 `  A )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( R1 `  A
) ( U. x  e.  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
)  /\  A. y  e.  ( R1 `  A
) { x ,  y }  e.  ( R1 `  A ) ) ) ) )
6866, 67ax-mp 5 . 2  |-  ( ( R1 `  A )  e. WUni 
<->  ( Tr  ( R1
`  A )  /\  ( R1 `  A )  =/=  (/)  /\  A. x  e.  ( R1 `  A
) ( U. x  e.  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
)  /\  A. y  e.  ( R1 `  A
) { x ,  y }  e.  ( R1 `  A ) ) ) )
692, 14, 65, 68syl3anbrc 1172 1  |-  ( ( A  e.  V  /\  Lim  A )  ->  ( R1 `  A )  e. WUni
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757    =/= wne 2641   A.wral 2792   _Vcvv 3054    u. cun 3410    C_ wss 3412   (/)c0 3721   ~Pcpw 3944   {cpr 3963   U.cuni 4175   Tr wtr 4469   Ord word 4802   Oncon0 4803   Lim wlim 4804   suc csuc 4805   dom cdm 4924   "cima 4927    Fn wfn 5497   ` cfv 5502   R1cr1 8056   rankcrnk 8057  WUnicwun 8954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-reg 7894  ax-inf2 7934
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-om 6563  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-r1 8058  df-rank 8059  df-wun 8956
This theorem is referenced by:  r1wunlim  8991  wunex3  8995
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