Theorem r1funlim 8262

Description: The cumulative hierarchy of sets function is a function on a limit ordinal. (This weak form of r1fnon 8263 avoids ax-rep 4528.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1funlim	|- ( Fun R1 /\ Lim dom R1 )

Proof of Theorem r1funlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfun 7159	. . 3 |- Fun rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) )
2		df-r1 8260	. . . 4 |- R1 = rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) )
3	2	funeqi 5620	. . 3 |- ( Fun R1 <-> Fun rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) ) )
4	1, 3	mpbir 214	. 2 |- Fun R1
5		rdgdmlim 7160	. . 3 |- Lim dom rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) )
6	2	dmeqi 5054	. . . 4 |- dom R1 = dom rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) )
7		limeq 5453	. . . 4 |- ( dom R1 = dom rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) ) -> ( Lim dom R1 <-> Lim dom rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 |- ( Lim dom R1 <-> Lim dom rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) ) )
9	5, 8	mpbir 214	. 2 |- Lim dom R1
10	4, 9	pm3.2i 461	1 |- ( Fun R1 /\ Lim dom R1 )

Syntax hints:   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1454   _Vcvv 3056   (/)c0 3742   ~Pcpw 3962   |-> cmpt 4474   dom cdm 4852   Lim wlim 5442   Fun wfun 5594   reccrdg 7152   R1cr1 8258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-r1 8260

This theorem is referenced by:  r1limg  8267  r1fin  8269  r1tr  8272  r1ordg  8274  r1ord3g  8275  r1pwss  8280  r1val1  8282  rankwflemb  8289  r1elwf  8292  rankr1ai  8294  rankdmr1  8297  rankr1ag  8298  rankr1bg  8299  r1elssi  8301  pwwf  8303  unwf  8306  rankr1clem  8316  rankr1c  8317  rankval3b  8322  rankonidlem  8324  onssr1  8327  rankeq0b  8356  ackbij2  8698  wunom  9170