Theorem r1funlim 8097

Description: The cumulative hierarchy of sets function is a function on a limit ordinal. (This weak form of r1fnon 8098 avoids ax-rep 4478.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1funlim	|- ( Fun R1 /\ Lim dom R1 )

Proof of Theorem r1funlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfun 7000	. . 3 |- Fun rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) )
2		df-r1 8095	. . . 4 |- R1 = rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) )
3	2	funeqi 5516	. . 3 |- ( Fun R1 <-> Fun rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) ) )
4	1, 3	mpbir 209	. 2 |- Fun R1
5		rdgdmlim 7001	. . 3 |- Lim dom rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) )
6	2	dmeqi 5117	. . . 4 |- dom R1 = dom rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) )
7		limeq 4804	. . . 4 |- ( dom R1 = dom rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) ) -> ( Lim dom R1 <-> Lim dom rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 |- ( Lim dom R1 <-> Lim dom rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) ) )
9	5, 8	mpbir 209	. 2 |- Lim dom R1
10	4, 9	pm3.2i 453	1 |- ( Fun R1 /\ Lim dom R1 )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1399   _Vcvv 3034   (/)c0 3711   ~Pcpw 3927   |-> cmpt 4425   Lim wlim 4793   dom cdm 4913   Fun wfun 5490   reccrdg 6993   R1cr1 8093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-r1 8095

This theorem is referenced by:  r1limg  8102  r1fin  8104  r1tr  8107  r1ordg  8109  r1ord3g  8110  r1pwss  8115  r1val1  8117  rankwflemb  8124  r1elwf  8127  rankr1ai  8129  rankdmr1  8132  rankr1ag  8133  rankr1bg  8134  r1elssi  8136  pwwf  8138  unwf  8141  rankr1clem  8151  rankr1c  8152  rankval3b  8157  rankonidlem  8159  onssr1  8162  rankeq0b  8191  ackbij2  8536  wunom  9009