Theorem r1funlim 8079

Description: The cumulative hierarchy of sets function is a function on a limit ordinal. (This weak form of r1fnon 8080 avoids ax-rep 4506.) (Contributed by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)

Assertion

Ref	Expression
r1funlim	|- ( Fun R1 /\ Lim dom R1 )

Proof of Theorem r1funlim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rdgfun 6977	. . 3 |- Fun rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) )
2		df-r1 8077	. . . 4 |- R1 = rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) )
3	2	funeqi 5541	. . 3 |- ( Fun R1 <-> Fun rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) ) )
4	1, 3	mpbir 209	. 2 |- Fun R1
5		rdgdmlim 6978	. . 3 |- Lim dom rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) )
6	2	dmeqi 5144	. . . 4 |- dom R1 = dom rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) )
7		limeq 4834	. . . 4 |- ( dom R1 = dom rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) ) -> ( Lim dom R1 <-> Lim dom rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) ) ) )
8	6, 7	ax-mp 5	. . 3 |- ( Lim dom R1 <-> Lim dom rec ( ( x e. _V |-> ~P x ) , (/) ) )
9	5, 8	mpbir 209	. 2 |- Lim dom R1
10	4, 9	pm3.2i 455	1 |- ( Fun R1 /\ Lim dom R1 )

Syntax hints:   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   _Vcvv 3072   (/)c0 3740   ~Pcpw 3963   |-> cmpt 4453   Lim wlim 4823   dom cdm 4943   Fun wfun 5515   reccrdg 6970   R1cr1 8075

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-r1 8077

This theorem is referenced by:  r1limg  8084  r1fin  8086  r1tr  8089  r1ordg  8091  r1ord3g  8092  r1pwss  8097  r1val1  8099  rankwflemb  8106  r1elwf  8109  rankr1ai  8111  rankdmr1  8114  rankr1ag  8115  rankr1bg  8116  r1elssi  8118  pwwf  8120  unwf  8123  rankr1clem  8133  rankr1c  8134  rankval3b  8139  rankonidlem  8141  onssr1  8144  rankeq0b  8173  ackbij2  8518  wunom  8993