MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r1elss Structured version   Unicode version

Theorem r1elss 8258
Description: The range of the  R1 function is transitive. Lemma 2.10 of [Kunen] p. 97. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
r1elss.1  |-  A  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
r1elss  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  <->  A  C_  U. ( R1 " On ) )

Proof of Theorem r1elss
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 r1elssi 8257 . 2  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  ->  A  C_  U. ( R1
" On ) )
2 r1elss.1 . . . 4  |-  A  e. 
_V
32tz9.12 8242 . . 3  |-  ( A. y  e.  A  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x
)  ->  E. x  e.  On  A  e.  ( R1 `  x ) )
4 dfss3 3434 . . . 4  |-  ( A 
C_  U. ( R1 " On )  <->  A. y  e.  A  y  e.  U. ( R1 " On ) )
5 r1fnon 8219 . . . . . . . 8  |-  R1  Fn  On
6 fnfun 5661 . . . . . . . 8  |-  ( R1  Fn  On  ->  Fun  R1 )
7 funiunfv 6143 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
R1  ->  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  =  U. ( R1
" On ) )
85, 6, 7mp2b 10 . . . . . . 7  |-  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  =  U. ( R1 " On )
98eleq2i 2482 . . . . . 6  |-  ( y  e.  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  <->  y  e.  U. ( R1 " On ) )
10 eliun 4278 . . . . . 6  |-  ( y  e.  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  <->  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) )
119, 10bitr3i 253 . . . . 5  |-  ( y  e.  U. ( R1
" On )  <->  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) )
1211ralbii 2837 . . . 4  |-  ( A. y  e.  A  y  e.  U. ( R1 " On )  <->  A. y  e.  A  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) )
134, 12bitri 251 . . 3  |-  ( A 
C_  U. ( R1 " On )  <->  A. y  e.  A  E. x  e.  On  y  e.  ( R1 `  x ) )
148eleq2i 2482 . . . 4  |-  ( A  e.  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  <->  A  e.  U. ( R1 " On ) )
15 eliun 4278 . . . 4  |-  ( A  e.  U_ x  e.  On  ( R1 `  x )  <->  E. x  e.  On  A  e.  ( R1 `  x ) )
1614, 15bitr3i 253 . . 3  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  <->  E. x  e.  On  A  e.  ( R1 `  x ) )
173, 13, 163imtr4i 268 . 2  |-  ( A 
C_  U. ( R1 " On )  ->  A  e. 
U. ( R1 " On ) )
181, 17impbii 189 1  |-  ( A  e.  U. ( R1
" On )  <->  A  C_  U. ( R1 " On ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 186    = wceq 1407    e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3061    C_ wss 3416   U.cuni 4193   U_ciun 4273   "cima 4828   Oncon0 5412   Fun wfun 5565    Fn wfn 5566   ` cfv 5571   R1cr1 8214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-om 6686  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-r1 8216
This theorem is referenced by:  unir1  8265  tcwf  8335  tcrank  8336  rankcf  9187  wfgru  9226
  Copyright terms: Public domain W3C validator