Theorem r19.35 2973

Description: Restricted quantifier version of Theorem 19.35 of [Margaris] p. 90. (Contributed by NM, 20-Sep-2003.)

Assertion

Ref	Expression
r19.35	|- ( E. x e. A ( ph -> ps ) <-> ( A. x e. A ph -> E. x e. A ps ) )

Proof of Theorem r19.35

Step	Hyp	Ref	Expression
1		r19.26 2955	. . . 4 |- ( A. x e. A ( ph /\ -. ps ) <-> ( A. x e. A ph /\ A. x e. A -. ps ) )
2		annim 425	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. ps ) <-> -. ( ph -> ps ) )
3	2	ralbii 2839	. . . 4 |- ( A. x e. A ( ph /\ -. ps ) <-> A. x e. A -. ( ph -> ps ) )
4		df-an 371	. . . 4 |- ( ( A. x e. A ph /\ A. x e. A -. ps ) <-> -. ( A. x e. A ph -> -. A. x e. A -. ps ) )
5	1, 3, 4	3bitr3i 275	. . 3 |- ( A. x e. A -. ( ph -> ps ) <-> -. ( A. x e. A ph -> -. A. x e. A -. ps ) )
6	5	con2bii 332	. 2 |- ( ( A. x e. A ph -> -. A. x e. A -. ps ) <-> -. A. x e. A -. ( ph -> ps ) )
7		dfrex2 2857	. . 3 |- ( E. x e. A ps <-> -. A. x e. A -. ps )
8	7	imbi2i 312	. 2 |- ( ( A. x e. A ph -> E. x e. A ps ) <-> ( A. x e. A ph -> -. A. x e. A -. ps ) )
9		dfrex2 2857	. 2 |- ( E. x e. A ( ph -> ps ) <-> -. A. x e. A -. ( ph -> ps ) )
10	6, 8, 9	3bitr4ri 278	1 |- ( E. x e. A ( ph -> ps ) <-> ( A. x e. A ph -> E. x e. A ps ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wral 2799   E.wrex 2800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-an 371  df-ex 1588  df-ral 2804  df-rex 2805

This theorem is referenced by:  r19.36av  2974  r19.37  2975  r19.43  2982  r19.37zv  3885  r19.36zv  3889  iinexg  4561  bndndx  10690  nmobndseqi  24332  nmobndseqiOLD  24333