MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r19.2uz Structured version   Unicode version

Theorem r19.2uz 13382
Description: A version of r19.2z 3883 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
r19.2uz  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  ->  E. k  e.  Z  ph )
Distinct variable groups:    j, M    ph, j    j, k, Z
Allowed substitution hints:    ph( k)    M( k)

Proof of Theorem r19.2uz
StepHypRef Expression
1 eluzelz 11157 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
2 uzid 11162 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
3 ne0i 3764 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ZZ>= `  j )  =/=  (/) )
41, 2, 33syl 18 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  j )  =/=  (/) )
5 rexuz3.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
64, 5eleq2s 2528 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  ( ZZ>=
`  j )  =/=  (/) )
7 r19.2z 3883 . . . 4  |-  ( ( ( ZZ>= `  j )  =/=  (/)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
86, 7sylan 473 . . 3  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  E. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph )
95uztrn2 11165 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
109ex 435 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  k  e.  Z ) )
1110anim1d 566 . . . . 5  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  j )  /\  ph )  ->  ( k  e.  Z  /\  ph )
) )
1211reximdv2 2894 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  ( E. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  E. k  e.  Z  ph ) )
1312imp 430 . . 3  |-  ( ( j  e.  Z  /\  E. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  E. k  e.  Z  ph )
148, 13syldan 472 . 2  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  E. k  e.  Z  ph )
1514rexlimiva 2911 1  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  ->  E. k  e.  Z  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   A.wral 2773   E.wrex 2774   (/)c0 3758   ` cfv 5592   ZZcz 10926   ZZ>=cuz 11148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-ov 6299  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-neg 9852  df-z 10927  df-uz 11149
This theorem is referenced by:  lmcls  20255  1stccnp  20414  iscmet3lem1  22180  iscmet3lem2  22181  uniioombllem6  22453  ulmcau  23254  ulmbdd  23257  ulmcn  23258  ulmdvlem3  23261  iblulm  23266
  Copyright terms: Public domain W3C validator