MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r19.2uz Structured version   Unicode version

Theorem r19.2uz 12860
Description: A version of r19.2z 3790 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
r19.2uz  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  ->  E. k  e.  Z  ph )
Distinct variable groups:    j, M    ph, j    j, k, Z
Allowed substitution hints:    ph( k)    M( k)

Proof of Theorem r19.2uz
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10891 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
2 uzid 10896 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
3 ne0i 3664 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ZZ>= `  j )  =/=  (/) )
41, 2, 33syl 20 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  j )  =/=  (/) )
5 rexuz3.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
64, 5eleq2s 2535 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  ( ZZ>=
`  j )  =/=  (/) )
7 r19.2z 3790 . . . 4  |-  ( ( ( ZZ>= `  j )  =/=  (/)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
86, 7sylan 471 . . 3  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  E. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph )
95uztrn2 10899 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
109ex 434 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  k  e.  Z ) )
1110anim1d 564 . . . . 5  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  j )  /\  ph )  ->  ( k  e.  Z  /\  ph )
) )
1211reximdv2 2846 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  ( E. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  E. k  e.  Z  ph ) )
1312imp 429 . . 3  |-  ( ( j  e.  Z  /\  E. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  E. k  e.  Z  ph )
148, 13syldan 470 . 2  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  E. k  e.  Z  ph )
1514rexlimiva 2857 1  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  ->  E. k  e.  Z  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2736   E.wrex 2737   (/)c0 3658   ` cfv 5439   ZZcz 10667   ZZ>=cuz 10882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-ov 6115  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-neg 9619  df-z 10668  df-uz 10883
This theorem is referenced by:  lmcls  18928  1stccnp  19088  iscmet3lem1  20824  iscmet3lem2  20825  uniioombllem6  21090  ulmcau  21882  ulmbdd  21885  ulmcn  21886  ulmdvlem3  21889  iblulm  21894
  Copyright terms: Public domain W3C validator