MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r19.2uz Structured version   Unicode version

Theorem r19.2uz 12835
Description: A version of r19.2z 3766 for upper integer quantifiers. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
rexuz3.1  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
Assertion
Ref Expression
r19.2uz  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  ->  E. k  e.  Z  ph )
Distinct variable groups:    j, M    ph, j    j, k, Z
Allowed substitution hints:    ph( k)    M( k)

Proof of Theorem r19.2uz
StepHypRef Expression
1 eluzelz 10866 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  j  e.  ZZ )
2 uzid 10871 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ZZ  ->  j  e.  ( ZZ>= `  j )
)
3 ne0i 3640 . . . . . 6  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  j
)  ->  ( ZZ>= `  j )  =/=  (/) )
41, 2, 33syl 20 . . . . 5  |-  ( j  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( ZZ>= `  j )  =/=  (/) )
5 rexuz3.1 . . . . 5  |-  Z  =  ( ZZ>= `  M )
64, 5eleq2s 2533 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  ( ZZ>=
`  j )  =/=  (/) )
7 r19.2z 3766 . . . 4  |-  ( ( ( ZZ>= `  j )  =/=  (/)  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  E. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )
86, 7sylan 468 . . 3  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  E. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ph )
95uztrn2 10874 . . . . . . 7  |-  ( ( j  e.  Z  /\  k  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
k  e.  Z )
109ex 434 . . . . . 6  |-  ( j  e.  Z  ->  (
k  e.  ( ZZ>= `  j )  ->  k  e.  Z ) )
1110anim1d 561 . . . . 5  |-  ( j  e.  Z  ->  (
( k  e.  (
ZZ>= `  j )  /\  ph )  ->  ( k  e.  Z  /\  ph )
) )
1211reximdv2 2823 . . . 4  |-  ( j  e.  Z  ->  ( E. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ph  ->  E. k  e.  Z  ph ) )
1312imp 429 . . 3  |-  ( ( j  e.  Z  /\  E. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  E. k  e.  Z  ph )
148, 13syldan 467 . 2  |-  ( ( j  e.  Z  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph )  ->  E. k  e.  Z  ph )
1514rexlimiva 2834 1  |-  ( E. j  e.  Z  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ph  ->  E. k  e.  Z  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   (/)c0 3634   ` cfv 5415   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-ov 6093  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-neg 9594  df-z 10643  df-uz 10858
This theorem is referenced by:  lmcls  18865  1stccnp  19025  iscmet3lem1  20761  iscmet3lem2  20762  uniioombllem6  21027  ulmcau  21819  ulmbdd  21822  ulmcn  21823  ulmdvlem3  21826  iblulm  21831
  Copyright terms: Public domain W3C validator