MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r10 Structured version   Unicode version

Theorem r10 8177
Description: Value of the cumulative hierarchy of sets function at  (/). Part of Definition 9.9 of [TakeutiZaring] p. 76. (Contributed by NM, 2-Sep-2003.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
r10  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)

Proof of Theorem r10
StepHypRef Expression
1 df-r1 8173 . . 3  |-  R1  =  rec ( ( x  e. 
_V  |->  ~P x ) ,  (/) )
21fveq1i 5849 . 2  |-  ( R1
`  (/) )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ~P x
) ,  (/) ) `  (/) )
3 0ex 4569 . . 3  |-  (/)  e.  _V
43rdg0 7079 . 2  |-  ( rec ( ( x  e. 
_V  |->  ~P x ) ,  (/) ) `  (/) )  =  (/)
52, 4eqtri 2483 1  |-  ( R1
`  (/) )  =  (/)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1398   _Vcvv 3106   (/)c0 3783   ~Pcpw 3999    |-> cmpt 4497   ` cfv 5570   reccrdg 7067   R1cr1 8171
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-r1 8173
This theorem is referenced by:  r1fin  8182  r1tr  8185  r1pwss  8193  r1val1  8195  rankeq0b  8269  ackbij2lem2  8611  ackbij2lem3  8612  wunr1om  9086  r1wunlim  9104  tskr1om  9134  inar1  9142  r1tskina  9149  grur1a  9186  grothomex  9196  rankeq1o  30056
  Copyright terms: Public domain W3C validator