MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r0sep Structured version   Unicode version

Theorem r0sep 19333
Description: The separation property of an R0 space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
r0sep  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  B  e.  o
) ) )
Distinct variable groups:    A, o    B, o    o, J    o, X

Proof of Theorem r0sep
Dummy variables  x  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . 4  |-  ( z  e.  X  |->  { w  e.  J  |  z  e.  w } )  =  ( z  e.  X  |->  { w  e.  J  |  z  e.  w } )
21isr0 19322 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) ) ) )
32biimpa 484 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) ) )
4 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  o  <->  A  e.  o ) )
54imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  ( A  e.  o  ->  y  e.  o ) ) )
65ralbidv 2747 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o ) ) )
74bibi1d 319 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  o  <-> 
y  e.  o )  <-> 
( A  e.  o  <-> 
y  e.  o ) ) )
87ralbidv 2747 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  y  e.  o ) ) )
96, 8imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) )  <->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  y  e.  o ) ) ) )
10 eleq1 2503 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  o  <->  B  e.  o ) )
1110imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
( A  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  ( A  e.  o  ->  B  e.  o ) ) )
1211ralbidv 2747 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o ) ) )
1310bibi2d 318 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
( A  e.  o  <-> 
y  e.  o )  <-> 
( A  e.  o  <-> 
B  e.  o ) ) )
1413ralbidv 2747 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  B  e.  o
) ) )
1512, 14imbi12d 320 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  y  e.  o ) )  <->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  B  e.  o ) ) ) )
169, 15rspc2v 3091 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  B  e.  o ) ) ) )
173, 16mpan9 469 1  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  B  e.  o
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2727   {crab 2731    e. cmpt 4362   ` cfv 5430  TopOnctopon 18511   Frect1 18923  KQckq 19278
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-map 7228  df-topgen 14394  df-qtop 14457  df-top 18515  df-topon 18518  df-cld 18635  df-cn 18843  df-t1 18930  df-kq 19279
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator