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Theorem r0sep 20818
Description: The separation property of an R0 space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
r0sep  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  B  e.  o
) ) )
Distinct variable groups:    A, o    B, o    o, J    o, X

Proof of Theorem r0sep
Dummy variables  x  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2462 . . . 4  |-  ( z  e.  X  |->  { w  e.  J  |  z  e.  w } )  =  ( z  e.  X  |->  { w  e.  J  |  z  e.  w } )
21isr0 20807 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) ) ) )
32biimpa 491 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) ) )
4 eleq1 2528 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  o  <->  A  e.  o ) )
54imbi1d 323 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  ( A  e.  o  ->  y  e.  o ) ) )
65ralbidv 2839 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o ) ) )
74bibi1d 325 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  o  <-> 
y  e.  o )  <-> 
( A  e.  o  <-> 
y  e.  o ) ) )
87ralbidv 2839 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  y  e.  o ) ) )
96, 8imbi12d 326 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) )  <->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  y  e.  o ) ) ) )
10 eleq1 2528 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  o  <->  B  e.  o ) )
1110imbi2d 322 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
( A  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  ( A  e.  o  ->  B  e.  o ) ) )
1211ralbidv 2839 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o ) ) )
1310bibi2d 324 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
( A  e.  o  <-> 
y  e.  o )  <-> 
( A  e.  o  <-> 
B  e.  o ) ) )
1413ralbidv 2839 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  B  e.  o
) ) )
1512, 14imbi12d 326 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  y  e.  o ) )  <->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  B  e.  o ) ) ) )
169, 15rspc2v 3171 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  B  e.  o ) ) ) )
173, 16mpan9 476 1  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  B  e.  o
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898   A.wral 2749   {crab 2753    |-> cmpt 4477   ` cfv 5605  TopOnctopon 19973   Frect1 20378  KQckq 20763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4531  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-iun 4294  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-map 7505  df-topgen 15397  df-qtop 15461  df-top 19976  df-topon 19978  df-cld 20089  df-cn 20298  df-t1 20385  df-kq 20764
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