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Theorem r0sep 20375
Description: The separation property of an R0 space. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
r0sep  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  B  e.  o
) ) )
Distinct variable groups:    A, o    B, o    o, J    o, X

Proof of Theorem r0sep
Dummy variables  x  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . 4  |-  ( z  e.  X  |->  { w  e.  J  |  z  e.  w } )  =  ( z  e.  X  |->  { w  e.  J  |  z  e.  w } )
21isr0 20364 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( (KQ `  J )  e.  Fre  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) ) ) )
32biimpa 484 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) ) )
4 eleq1 2529 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  o  <->  A  e.  o ) )
54imbi1d 317 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  ( A  e.  o  ->  y  e.  o ) ) )
65ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o ) ) )
74bibi1d 319 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  o  <-> 
y  e.  o )  <-> 
( A  e.  o  <-> 
y  e.  o ) ) )
87ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  y  e.  o ) ) )
96, 8imbi12d 320 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  (
( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) )  <->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  y  e.  o ) ) ) )
10 eleq1 2529 . . . . . 6  |-  ( y  =  B  ->  (
y  e.  o  <->  B  e.  o ) )
1110imbi2d 316 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
( A  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  ( A  e.  o  ->  B  e.  o ) ) )
1211ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o ) ) )
1310bibi2d 318 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  (
( A  e.  o  <-> 
y  e.  o )  <-> 
( A  e.  o  <-> 
B  e.  o ) ) )
1413ralbidv 2896 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  y  e.  o )  <->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  B  e.  o
) ) )
1512, 14imbi12d 320 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  y  e.  o ) )  <->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  B  e.  o ) ) ) )
169, 15rspc2v 3219 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  y  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  <->  y  e.  o ) )  ->  ( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  B  e.  o ) ) ) )
173, 16mpan9 469 1  |-  ( ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  (KQ `  J )  e.  Fre )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A. o  e.  J  ( A  e.  o  ->  B  e.  o )  ->  A. o  e.  J  ( A  e.  o  <->  B  e.  o
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   {crab 2811    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  TopOnctopon 19522   Frect1 19935  KQckq 20320
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7440  df-topgen 14861  df-qtop 14924  df-top 19526  df-topon 19529  df-cld 19647  df-cn 19855  df-t1 19942  df-kq 20321
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