Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  r0cld Structured version   Unicode version

Theorem r0cld 20688
 Description: The analogue of the T1 axiom (singletons are closed) for an R0 space. In an R0 space the set of all points topologically indistinguishable from is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
kqval.2
Assertion
Ref Expression
r0cld TopOn KQ
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem r0cld
StepHypRef Expression
1 kqval.2 . . . . . 6
21kqffn 20675 . . . . 5 TopOn
323ad2ant1 1026 . . . 4 TopOn KQ
4 fncnvima2 6019 . . . 4
53, 4syl 17 . . 3 TopOn KQ
6 fvex 5891 . . . . . 6
76elsnc 4026 . . . . 5
8 simpl1 1008 . . . . . 6 TopOn KQ TopOn
9 simpr 462 . . . . . 6 TopOn KQ
10 simpl3 1010 . . . . . 6 TopOn KQ
111kqfeq 20674 . . . . . . 7 TopOn
12 eleq2 2502 . . . . . . . . 9
13 eleq2 2502 . . . . . . . . 9
1412, 13bibi12d 322 . . . . . . . 8
1514cbvralv 3062 . . . . . . 7
1611, 15syl6bb 264 . . . . . 6 TopOn
178, 9, 10, 16syl3anc 1264 . . . . 5 TopOn KQ
187, 17syl5bb 260 . . . 4 TopOn KQ
1918rabbidva 3078 . . 3 TopOn KQ
205, 19eqtrd 2470 . 2 TopOn KQ
211kqid 20678 . . . 4 TopOn KQ
22213ad2ant1 1026 . . 3 TopOn KQ KQ
23 simp2 1006 . . . 4 TopOn KQ KQ
24 simp3 1007 . . . . . 6 TopOn KQ
25 fnfvelrn 6034 . . . . . 6
263, 24, 25syl2anc 665 . . . . 5 TopOn KQ
271kqtopon 20677 . . . . . . 7 TopOn KQ TopOn
28273ad2ant1 1026 . . . . . 6 TopOn KQ KQ TopOn
29 toponuni 19877 . . . . . 6 KQ TopOn KQ
3028, 29syl 17 . . . . 5 TopOn KQ KQ
3126, 30eleqtrd 2519 . . . 4 TopOn KQ KQ
32 eqid 2429 . . . . 5 KQ KQ
3332t1sncld 20277 . . . 4 KQ KQ KQ
3423, 31, 33syl2anc 665 . . 3 TopOn KQ KQ
35 cnclima 20219 . . 3 KQ KQ
3622, 34, 35syl2anc 665 . 2 TopOn KQ
3720, 36eqeltrrd 2518 1 TopOn KQ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  crab 2786  csn 4002  cuni 4222   cmpt 4484  ccnv 4853   crn 4855  cima 4857   wfn 5596  cfv 5601  (class class class)co 6305  TopOnctopon 19853  ccld 19966   ccn 20175  ct1 20258  KQckq 20643 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-map 7482  df-qtop 15368  df-top 19856  df-topon 19858  df-cld 19969  df-cn 20178  df-t1 20265  df-kq 20644 This theorem is referenced by:  nrmr0reg  20699
 Copyright terms: Public domain W3C validator