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Theorem qustgpopn 21076
Description: A quotient map in a topological group is an open map. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
qustgp.h  |-  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y
) )
qustgpopn.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
qustgpopn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
qustgpopn.k  |-  K  =  ( TopOpen `  H )
qustgpopn.f  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )
Assertion
Ref Expression
qustgpopn  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( F " S )  e.  K
)
Distinct variable groups:    x, G    x, J    x, S    x, X    x, H    x, K    x, Y
Allowed substitution hint:    F( x)

Proof of Theorem qustgpopn
Dummy variables  a  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imassrn 5141 . . . 4  |-  ( F
" S )  C_  ran  F
2 qustgp.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y
) )
32a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  H  =  ( G  /.s  ( G ~QG  Y ) ) )
4 qustgpopn.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
54a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  X  =  ( Base `  G )
)
6 qustgpopn.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )
7 ovex 6277 . . . . . . 7  |-  ( G ~QG  Y )  e.  _V
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( G ~QG  Y
)  e.  _V )
9 simp1 1005 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  G  e.  TopGrp )
103, 5, 6, 8, 9quslem 15392 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
11 forn 5756 . . . . 5  |-  ( F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG  Y ) )  ->  ran  F  =  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
1210, 11syl 17 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ran  F  =  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
131, 12syl5sseq 3455 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( F " S )  C_  ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )
14 eceq1 7354 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
1514cbvmptv 4459 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )  =  ( y  e.  X  |->  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
166, 15eqtri 2450 . . . . . . . 8  |-  F  =  ( y  e.  X  |->  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
1716mptpreima 5290 . . . . . . 7  |-  ( `' F " ( F
" S ) )  =  { y  e.  X  |  [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) }
1817rabeq2i 3019 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( `' F " ( F " S
) )  <->  ( y  e.  X  /\  [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) ) )
196funmpt2 5581 . . . . . . . . 9  |-  Fun  F
20 fvelima 5877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  F  /\  [
y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F
" S ) )  ->  E. z  e.  S  ( F `  z )  =  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
2119, 20mpan 674 . . . . . . . 8  |-  ( [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F
" S )  ->  E. z  e.  S  ( F `  z )  =  [ y ] ( G ~QG  Y ) )
22 qustgpopn.j . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  J  =  ( TopOpen `  G )
2322, 4tgptopon 21039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
249, 23syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
25 simp3 1007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  e.  J )
26 toponss 19886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  S  e.  J )  ->  S  C_  X )
2724, 25, 26syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  S  C_  X
)
2827adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  ->  S  C_  X )
2928sselda 3407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  z  e.  X )
30 eceq1 7354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  z  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ z ] ( G ~QG  Y ) )
31 ecexg 7322 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G ~QG  Y )  e.  _V  ->  [ z ] ( G ~QG  Y )  e.  _V )
327, 31ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [ z ] ( G ~QG  Y )  e.  _V
3330, 6, 32fvmpt 5908 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  X  ->  ( F `  z )  =  [ z ] ( G ~QG  Y ) )
3429, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  ( F `  z )  =  [ z ] ( G ~QG  Y ) )
3534eqeq1d 2430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  z
)  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  <->  [ z ] ( G ~QG  Y )  =  [
y ] ( G ~QG  Y ) ) )
36 eqcom 2435 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ z ] ( G ~QG  Y )  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  <->  [ y ] ( G ~QG  Y )  =  [
z ] ( G ~QG  Y ) )
3735, 36syl6bb 264 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  z
)  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  <->  [ y ] ( G ~QG  Y )  =  [
z ] ( G ~QG  Y ) ) )
38 nsgsubg 16792 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
39383ad2ant2 1027 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  Y  e.  (SubGrp `  G ) )
4039ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  Y  e.  (SubGrp `  G )
)
41 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G ~QG  Y )  =  ( G ~QG  Y )
424, 41eqger 16810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( G ~QG  Y
)  Er  X )
4340, 42syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  ( G ~QG  Y )  Er  X
)
44 simplr 760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  y  e.  X )
4543, 44erth 7363 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( G ~QG  Y ) z  <->  [ y ] ( G ~QG  Y )  =  [
z ] ( G ~QG  Y ) ) )
469ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  G  e.  TopGrp )
474subgss 16761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  Y  C_  X
)
4840, 47syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  Y  C_  X )
49 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
50 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
514, 49, 50, 41eqgval 16809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  C_  X )  ->  (
y ( G ~QG  Y ) z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) ) )
5246, 48, 51syl2anc 665 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
y ( G ~QG  Y ) z  <->  ( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y ) ) )
5337, 45, 523bitr2d 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  z
)  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  <-> 
( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) ) )
54 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  (oppg `  G
)  =  (oppg `  G
)
55 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( +g  `  (oppg
`  G ) )  =  ( +g  `  (oppg `  G
) )
5650, 54, 55oppgplus 16943 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a )  =  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )
5756mpteq2i 4450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  X  |->  ( ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a ) )  =  ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
5846adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  G  e.  TopGrp )
5954oppgtgp 21055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  (oppg
`  G )  e. 
TopGrp )
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (oppg `  G
)  e.  TopGrp )
6148sselda 3407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X )
62 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( a  e.  X  |->  ( ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a ) )  =  ( a  e.  X  |->  ( ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a ) )
6354, 4oppgbas 16945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  X  =  ( Base `  (oppg `  G
) )
6454, 22oppgtopn 16947 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  J  =  ( TopOpen `  (oppg
`  G ) )
6562, 63, 55, 64tgplacthmeo 21060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (oppg
`  G )  e. 
TopGrp  /\  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z )  e.  X
)  ->  ( a  e.  X  |->  ( ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ( +g  `  (oppg `  G
) ) a ) )  e.  ( J
Homeo J ) )
6660, 61, 65syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
a  e.  X  |->  ( ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ( +g  `  (oppg
`  G ) ) a ) )  e.  ( J Homeo J ) )
6757, 66syl5eqelr 2511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( J Homeo J ) )
68 hmeocn 20717 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( J Homeo J )  ->  ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( J  Cn  J ) )
7025ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  S  e.  J )
71 cnima 20223 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  e.  ( J  Cn  J )  /\  S  e.  J )  ->  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  e.  J )
7269, 70, 71syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  e.  J )
7344adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  y  e.  X )
74 tgpgrp 21035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( G  e.  TopGrp  ->  G  e.  Grp )
7558, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  G  e.  Grp )
76 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
774, 50, 76, 49grprinv 16656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( y ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  y )
)  =  ( 0g
`  G ) )
7875, 73, 77syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
y ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) )  =  ( 0g `  G ) )
7978oveq1d 6264 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( y ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  y )
) ( +g  `  G
) z )  =  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z ) )
804, 49grpinvcl 16654 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  X )
8175, 73, 80syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  X )
8229adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  z  e.  X )
834, 50grpass 16623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( y  e.  X  /\  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
y ( +g  `  G
) ( ( invg `  G ) `
 y ) ) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
8475, 73, 81, 82, 83syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( y ( +g  `  G ) ( ( invg `  G
) `  y )
) ( +g  `  G
) z )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
854, 50, 76grplid 16639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) z )  =  z )
8675, 82, 85syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
( 0g `  G
) ( +g  `  G
) z )  =  z )
8779, 84, 863eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
y ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  =  z )
88 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  z  e.  S )
8987, 88eqeltrd 2506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  (
y ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S )
90 oveq1 6256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  y  ->  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  =  ( y ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )
9190eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  =  y  ->  (
( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  S  <->  ( y
( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  S ) )
92 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  =  ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
9392mptpreima 5290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) " S )  =  { a  e.  X  |  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S }
9491, 93elrab2 3173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  <->  ( y  e.  X  /\  (
y ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S ) )
9573, 89, 94sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S ) )
96 ecexg 7322 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G ~QG  Y )  e.  _V  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  e.  _V )
977, 96ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  [ x ] ( G ~QG  Y )  e.  _V
9897, 6fnmpti 5667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F  Fn  X
9928ad3antrrr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  S  C_  X )
100 fnfvima 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  X  /\  S  C_  X  /\  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S )  ->  ( F `  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( F " S ) )
1011003expia 1207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F  Fn  X  /\  S  C_  X )  -> 
( ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  S  ->  ( F `  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  e.  ( F
" S ) ) )
10298, 99, 101sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  S  ->  ( F `  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( F " S ) ) )
10375adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  G  e.  Grp )
104 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  a  e.  X )
10561adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X )
1064, 50grpcl 16622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  X
)  ->  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  e.  X )
107103, 104, 105, 106syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  X )
108 eceq1 7354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  =  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [
( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ] ( G ~QG  Y ) )
109108, 6, 97fvmpt3i 5913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  X  ->  ( F `  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) )  =  [ ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) ] ( G ~QG  Y ) )
110107, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  ( F `  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  =  [ ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) ] ( G ~QG  Y ) )
11143ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  ( G ~QG  Y )  Er  X
)
1124, 50, 76, 49grplinv 16655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) a )  =  ( 0g `  G ) )
113103, 104, 112syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( invg `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) a )  =  ( 0g `  G
) )
114113oveq1d 6264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) a ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( 0g
`  G ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
1154, 49grpinvcl 16654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  a  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  a
)  e.  X )
116103, 104, 115syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( invg `  G ) `  a
)  e.  X )
1174, 50grpass 16623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 a )  e.  X  /\  a  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  a )
( +g  `  G ) a ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  a )
( +g  `  G ) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
118103, 116, 104, 105, 117syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 a ) ( +g  `  G ) a ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  a )
( +g  `  G ) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) ) ) )
1194, 50, 76grplid 16639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  X
)  ->  ( ( 0g `  G ) ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )
120103, 105, 119syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( 0g `  G
) ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )
121114, 118, 1203eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( invg `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )
122 simplr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )
123121, 122eqeltrd 2506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( ( invg `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  Y )
12448ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  Y  C_  X )
1254, 49, 50, 41eqgval 16809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  Y  C_  X )  -> 
( a ( G ~QG  Y ) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) )  <->  ( a  e.  X  /\  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  Y ) ) )
126103, 124, 125syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
a ( G ~QG  Y ) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  <-> 
( a  e.  X  /\  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  X  /\  (
( ( invg `  G ) `  a
) ( +g  `  G
) ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  e.  Y ) ) )
127104, 107, 123, 126mpbir3and 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  a
( G ~QG  Y ) ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
128111, 127erthi 7365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  [ a ] ( G ~QG  Y )  =  [ ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) ] ( G ~QG  Y ) )
129110, 128eqtr4d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  ( F `  ( a
( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )  =  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
130129eleq1d 2490 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( F `  (
a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )  e.  ( F " S )  <->  [ a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) ) )
131102, 130sylibd 217 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  /\  a  e.  X )  ->  (
( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z ) )  e.  S  ->  [ a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) ) )
132131ss2rabdv 3485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  { a  e.  X  |  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) )  e.  S }  C_  { a  e.  X  |  [
a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F
" S ) } )
133 eceq1 7354 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  a  ->  [ x ] ( G ~QG  Y )  =  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
134133cbvmptv 4459 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  X  |->  [ x ] ( G ~QG  Y ) )  =  ( a  e.  X  |->  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
1356, 134eqtri 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F  =  ( a  e.  X  |->  [ a ] ( G ~QG  Y ) )
136135mptpreima 5290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F " ( F
" S ) )  =  { a  e.  X  |  [ a ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S ) }
137132, 93, 1363sstr4g 3448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) )
138 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  -> 
( y  e.  u  <->  y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S ) ) )
139 sseq1 3428 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  -> 
( u  C_  ( `' F " ( F
" S ) )  <-> 
( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) )
140138, 139anbi12d 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  -> 
( ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) )  <->  ( y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  /\  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
141140rspcev 3125 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  e.  J  /\  ( y  e.  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G
) ( ( ( invg `  G
) `  y )
( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  /\  ( `' ( a  e.  X  |->  ( a ( +g  `  G ) ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z ) ) )
" S )  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) )
14272, 95, 137, 141syl12anc 1262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
( ( invg `  G ) `  y
) ( +g  `  G
) z )  e.  Y )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) )
1431423ad2antr3 1172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X
)  /\  z  e.  S )  /\  (
y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) )
144143ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( y  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 y ) ( +g  `  G ) z )  e.  Y
)  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) ) )
14553, 144sylbid 218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( G  e. 
TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  /\  z  e.  S )  ->  (
( F `  z
)  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
146145rexlimdva 2856 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  ->  ( E. z  e.  S  ( F `  z )  =  [ y ] ( G ~QG  Y )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) ) )
14721, 146syl5 33 . . . . . . 7  |-  ( ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G
)  /\  S  e.  J )  /\  y  e.  X )  ->  ( [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F " S )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
148147expimpd 606 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( (
y  e.  X  /\  [ y ] ( G ~QG  Y )  e.  ( F
" S ) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
14918, 148syl5bi 220 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( y  e.  ( `' F "
( F " S
) )  ->  E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) ) )
150149ralrimiv 2777 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  A. y  e.  ( `' F "
( F " S
) ) E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) )
151 topontop 19883 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
152 eltop2 19933 . . . . 5  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( `' F "
( F " S
) )  e.  J  <->  A. y  e.  ( `' F " ( F
" S ) ) E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F " ( F
" S ) ) ) ) )
15324, 151, 1523syl 18 . . . 4  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( ( `' F " ( F
" S ) )  e.  J  <->  A. y  e.  ( `' F "
( F " S
) ) E. u  e.  J  ( y  e.  u  /\  u  C_  ( `' F "
( F " S
) ) ) ) )
154150, 153mpbird 235 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( `' F " ( F " S ) )  e.  J )
155 elqtop3 20660 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F : X -onto-> ( X /. ( G ~QG  Y ) ) )  ->  ( ( F
" S )  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( ( F " S )  C_  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  /\  ( `' F " ( F
" S ) )  e.  J ) ) )
15624, 10, 155syl2anc 665 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( ( F " S )  e.  ( J qTop  F )  <-> 
( ( F " S )  C_  ( X /. ( G ~QG  Y ) )  /\  ( `' F " ( F
" S ) )  e.  J ) ) )
15713, 154, 156mpbir2and 930 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( F " S )  e.  ( J qTop  F ) )
1583, 5, 6, 8, 9qusval 15391 . . 3  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  H  =  ( F  "s  G ) )
159 qustgpopn.k . . 3  |-  K  =  ( TopOpen `  H )
160158, 5, 10, 9, 22, 159imastopn 20677 . 2  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  K  =  ( J qTop  F )
)
161157, 160eleqtrrd 2509 1  |-  ( ( G  e.  TopGrp  /\  Y  e.  (NrmSGrp `  G )  /\  S  e.  J
)  ->  ( F " S )  e.  K
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2714   E.wrex 2715   {crab 2718   _Vcvv 3022    C_ wss 3379   class class class wbr 4366    |-> cmpt 4425   `'ccnv 4795   ran crn 4797   "cima 4799   Fun wfun 5538    Fn wfn 5539   -onto->wfo 5542   ` cfv 5544  (class class class)co 6249    Er wer 7315   [cec 7316   /.cqs 7317   Basecbs 15064   +g cplusg 15133   TopOpenctopn 15263   0gc0g 15281   qTop cqtop 15344    /.s cqus 15347   Grpcgrp 16612   invgcminusg 16613  SubGrpcsubg 16754  NrmSGrpcnsg 16755   ~QG cqg 16756  oppgcoppg 16939   Topctop 19859  TopOnctopon 19860    Cn ccn 20182   Homeochmeo 20710   TopGrpctgp 21028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-tpos 6928  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-ec 7320  df-qs 7324  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-sup 7909  df-inf 7910  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-10 10627  df-n0 10821  df-z 10889  df-dec 11003  df-uz 11111  df-fz 11736  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-mulr 15147  df-sca 15149  df-vsca 15150  df-ip 15151  df-tset 15152  df-ple 15153  df-ds 15155  df-rest 15264  df-topn 15265  df-0g 15283  df-topgen 15285  df-qtop 15349  df-imas 15350  df-qus 15352  df-plusf 16430  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-subg 16757  df-nsg 16758  df-eqg 16759  df-oppg 16940  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-cn 20185  df-cnp 20186  df-tx 20519  df-hmeo 20712  df-tmd 21029  df-tgp 21030
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